Um retângulo com comprimento
e largura
é cortado em quatro retângulos menores por duas retas paralelas aos lados. Determine os valores máximo e mínimo da soma dos quadrados das áreas dos retângulos menores.
Passo 1
Neste exercício temos um retângulo de dimensões comprimento
e largura
que é dividido em quatro retângulos menores por uma reta paralela ao lado de comprimento (cortando a largura em dois pedaços) e outra reta paralela ao lado de largura (cortando o comprimento em dois pedaços). O objetivo é achar o mínimo e o máximo da soma dos quadrados das áreas desses quatro retângulos. Vamos usar teoria de quadráticas e análise de funções de duas variáveis para encontrar esses extremos.
Passo 2
Sejam
a altura (em relação a
) do corte horizontal, ou seja,
, e
a largura (em relação a
) do corte vertical, com
. Então as áreas dos quatro retângulos são:
Passo 3
A soma dos quadrados das áreas fica
Podemos fatorar:
Passo 4
Definimos
que em
Passo 5
Analogamente, definimos
que em
Passo 6
Como
, o mínimo ocorre quando ambos são mínimos simultaneamente e o máximo quando ambos são máximos. Portanto:
Resposta
Mínimo =
; Máximo =
.