Um retângulo com comprimento L e largura W é cortado em quatro retângulos menores por duas retas paralelas aos lados. Determine os valores máximo e mínimo da soma dos quadrados das áreas dos retângulos menores.

Passo 1

Neste exercício temos um retângulo de dimensões comprimento L e largura W que é dividido em quatro retângulos menores por uma reta paralela ao lado de comprimento (cortando a largura em dois pedaços) e outra reta paralela ao lado de largura (cortando o comprimento em dois pedaços). O objetivo é achar o mínimo e o máximo da soma dos quadrados das áreas desses quatro retângulos. Vamos usar teoria de quadráticas e análise de funções de duas variáveis para encontrar esses extremos.

Passo 2

Sejam x a altura (em relação a W) do corte horizontal, ou seja, 0<= x<= W, e y a largura (em relação a L) do corte vertical, com 0<= y<= L. Então as áreas dos quatro retângulos são:
A1 = y,x, A2 = y,(W-x), A3 = (L-y),x, A4 = (L-y),(W-x)

Passo 3

A soma dos quadrados das áreas fica
S(x,y)=A1^2+A2^2+A3^2+A4^2 = y^2l(x^2+(W-x)^2r)+(L-y)^2l(x^2+(W-x)^2r)
Podemos fatorar:
S(x,y)=igl(x^2+(W-x)^2r),igl(y^2+(L-y)^2r)

Passo 4

Definimos
f(x)=x^2+(W-x)^2=2x^2-2Wx+W^2,
que em [0,W] atinge mínimo em x=W/2 com f(W/2)=W^2/2 e máximo em x=0 ou x=W com f= W^2.

Passo 5

Analogamente, definimos
g(y)=y^2+(L-y)^2=2y^2-2Ly+L^2,
que em [0,L] atinge mínimo em y=L/2 com g(L/2)=L^2/2 e máximo em y=0 ou y=L com g= L^2.

Passo 6

Como S(x,y)=f(x),g(y), o mínimo ocorre quando ambos são mínimos simultaneamente e o máximo quando ambos são máximos. Portanto:
min S=W^22cdotL^22=L^2W^24,
max S=W^2cdot L^2=L^2W^2

Resposta

Mínimo = L^2W^2/4; Máximo = L^2W^2.

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