Calcule a integral
integral x^2 e^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^2 e^4 x , dx. Esse exercício envolve o conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente a técnica de Integração por Partes. Para resolver, vamos precisar reaplicar essa técnica algumas vezes até conseguirmos integrar completamente a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a Integração por Partes. A fórmula é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Nesse método, a gente escolhe duas partes da nossa integral para serem u e dv. A escolha certa facilita a integração.

Passo 3

Vamos aplicar a integração por partes à nossa integral original integral x^2 e^4 x , dx.
Escolha:
u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx
dv = e^4x , dx Rightarrow v = 14 e^4x

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^2 e^4x , dx = u , v - integral v , du
= x^2 cdot 14 e^4x - integral 14 e^4x cdot 2x , dx
= 14 x^2 e^4x - 12 integral x e^4x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral integral x e^4x , dx. Vamos aplicar novamente a integração por partes.
Escolha:
u = x Rightarrow du = dx
dv = e^4x , dx Rightarrow v = 14 e^4x

Passo 6

Aplicando a fórmula novamente:
integral x e^4x , dx = u , v - integral v , du
= x cdot 14 e^4x - integral 14 e^4x cdot 1 , dx
= 14 x e^4x - 14 cdot 14 e^4x
= 14 x e^4x - 116 e^4x

Passo 7

Voltando à expressão que tínhamos no Passo 4:
integral x^2 e^4x , dx = 14 x^2 e^4x - 12 ( 14 x e^4x - 116 e^4x )
= 14 x^2 e^4x - 18 x e^4x + 132 e^4x

Resposta

Portanto, a integral integral x^2 e^4x , dx é igual a:
14 x^2 e^4x - 18 x e^4x + 132 e^4x + C
onde C é a constante de integração.

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