Em relação à decomposição P A=L U de uma matriz quadrada A não singular, assinale a alternativa falsa.
é o durante a pivotação parcial, todos os pivôs escolhidos forem encontrados na diagonal, det(A) é o produto destes pivôs.
B P^-1 é uma matriz de permutação.
C Como det(L)=1, det(A)=det(U).
D A pivotação parcial evita qualquer ocorrência de divisão por zero no cálculo dos multiplicadores.
E A operação l-elementar de multiplicação de uma linha de A por uma constante não é utilizada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui uma questão sobre decomposição PA = LU de uma matriz quadrada A que não é singular. O que isso significa? Basicamente, estamos falando de quebrar a matriz A em duas matrizes menores, L (uma matriz triangular inferior) e U (uma matriz triangular superior), juntamente com uma matriz de permutação P. Para resolver essa questão, a gente vai precisar entender sobre decomposição LU, matrizes de permutação, determinantes e como essas coisas se relacionam. Vamos analisar cada alternativa para descobrir qual é a falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é decomposição PA = LU. Quando decompomos uma matriz A em L e U, usamos uma matriz de permutação P para reorganizar as linhas de A de modo que possamos evitar divisões por zero e facilitar os cálculos. Isso é especialmente útil quando a matriz A não tem os pivos ideais na diagonal principal.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada alternativa uma por uma para ver qual delas está errada.
Alternativa A:
“Durante a pivotação parcial, todos os pivôs escolhidos forem encontrados na diagonal, det(A) é o produto destes pivôs.”
Aqui, “pivôs” se referem aos elementos usados para simplificar a matriz durante a decomposição. Quando usamos pivotação parcial, escolhemos os melhores pivôs possíveis na diagonal para evitar problemas numéricos. Se todos os pivôs são exatamente os da diagonal, o determinante de A realmente será o produto desses pivôs. Isso está correto.
Alternativa B:
" P^-1 é uma matriz de permutação."
A matriz P é uma matriz de permutação, e sua inversa P^-1 também é uma matriz de permutação. Isso porque permutar linhas é uma operação reversível, e a inversa simplesmente desfaz a permutação. Então, essa afirmativa está correta.
Alternativa C:
“Como det(L)=1, det(A)=det(U).”
Na decomposição PA = LU, a matriz L é geralmente escolhida de modo que seu determinante seja 1 (especialmente quando L tem 1s na diagonal). Além disso, det(A) = det(P^-1LU) = det(P^-1)det(L)det(U). Sabendo que det(P^-1) = det(P) e que det(P) é pm1, dependendo da permutação, a relação det(A) = det(U) pode não ser sempre verdadeira sem considerar o efeito de P. Portanto, essa afirmativa está errada ou, pelo menos, incompleta.
Alternativa D:
“A pivotação parcial evita qualquer ocorrência de divisão por zero no cálculo dos multiplicadores.”
Exatamente! A pivotação parcial rearranja as linhas de modo que o maior elemento absoluto seja usado como pivô, evitando assim divisões por números muito pequenos ou zero, o que poderia causar erros nos cálculos. Então, essa afirmativa está correta.
Alternativa E:
“A operação l-elementar de multiplicação de uma linha de A por uma constante não é utilizada.”
Nas decomposições LU com pivotação, geralmente não multiplicamos linhas por constantes. Em vez disso, usamos operações de permutação e adição de múltiplos de linhas. Portanto, essa afirmativa está correta.

Resposta

A alternativa C é falsa.

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