Em relação à decomposição
de uma matriz quadrada
não singular, assinale a alternativa falsa.
é o durante a pivotação parcial, todos os pivôs escolhidos forem encontrados na diagonal,
é o produto destes pivôs.
B
é uma matriz de permutação.
C Como
.
D A pivotação parcial evita qualquer ocorrência de divisão por zero no cálculo dos multiplicadores.
E A operação l-elementar de multiplicação de uma linha de A por uma constante não é utilizada.
é o durante a pivotação parcial, todos os pivôs escolhidos forem encontrados na diagonal,
B
C Como
D A pivotação parcial evita qualquer ocorrência de divisão por zero no cálculo dos multiplicadores.
E A operação l-elementar de multiplicação de uma linha de A por uma constante não é utilizada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem aqui uma questão sobre decomposição
de uma matriz quadrada
que não é singular. O que isso significa? Basicamente, estamos falando de quebrar a matriz
em duas matrizes menores,
(uma matriz triangular inferior) e
(uma matriz triangular superior), juntamente com uma matriz de permutação
. Para resolver essa questão, a gente vai precisar entender sobre decomposição LU, matrizes de permutação, determinantes e como essas coisas se relacionam. Vamos analisar cada alternativa para descobrir qual é a falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é decomposição
. Quando decompomos uma matriz
em
e
, usamos uma matriz de permutação
para reorganizar as linhas de
de modo que possamos evitar divisões por zero e facilitar os cálculos. Isso é especialmente útil quando a matriz
não tem os pivos ideais na diagonal principal.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada alternativa uma por uma para ver qual delas está errada.
Alternativa A:
“Durante a pivotação parcial, todos os pivôs escolhidos forem encontrados na diagonal, é o produto destes pivôs.”
“Durante a pivotação parcial, todos os pivôs escolhidos forem encontrados na diagonal,
Aqui, “pivôs” se referem aos elementos usados para simplificar a matriz durante a decomposição. Quando usamos pivotação parcial, escolhemos os melhores pivôs possíveis na diagonal para evitar problemas numéricos. Se todos os pivôs são exatamente os da diagonal, o determinante de
realmente será o produto desses pivôs. Isso está correto.
Alternativa B:
" é uma matriz de permutação."
"
A matriz
é uma matriz de permutação, e sua inversa
também é uma matriz de permutação. Isso porque permutar linhas é uma operação reversível, e a inversa simplesmente desfaz a permutação. Então, essa afirmativa está correta.
Alternativa C:
“Como .”
“Como
Na decomposição
, a matriz
é geralmente escolhida de modo que seu determinante seja 1 (especialmente quando
tem 1s na diagonal). Além disso,
. Sabendo que
e que
é
, dependendo da permutação, a relação
pode não ser sempre verdadeira sem considerar o efeito de
. Portanto, essa afirmativa está errada ou, pelo menos, incompleta.
Alternativa D:
“A pivotação parcial evita qualquer ocorrência de divisão por zero no cálculo dos multiplicadores.”
“A pivotação parcial evita qualquer ocorrência de divisão por zero no cálculo dos multiplicadores.”
Exatamente! A pivotação parcial rearranja as linhas de modo que o maior elemento absoluto seja usado como pivô, evitando assim divisões por números muito pequenos ou zero, o que poderia causar erros nos cálculos. Então, essa afirmativa está correta.
Alternativa E:
“A operação l-elementar de multiplicação de uma linha de A por uma constante não é utilizada.”
“A operação l-elementar de multiplicação de uma linha de A por uma constante não é utilizada.”
Nas decomposições LU com pivotação, geralmente não multiplicamos linhas por constantes. Em vez disso, usamos operações de permutação e adição de múltiplos de linhas. Portanto, essa afirmativa está correta.
Resposta
A alternativa C é falsa.