Para as duas questões abaixo, considere a resolução do seguinte sistema A x=b por decomposição P A=L U:
[lll 2 & 3 & 1 4 & 5 & 1 3 & 4 & 6 ] x=[c -4 9 0 ]
Qual o terceiro componente de L^-1 Pb ?
-2,7146
B
-3,1000
© -5,8000
(D) -2,5000
(E) -3,3072

Passo 1

O enunciado pede o terceiro componente de L^-1Pb ao resolver o sistema Ax=b por decomposição com pivoteamento parcial PA=LU. Vamos precisar fazer a permutação P, fatorar PA em L e U, e depois resolver Ly=Pb.

Passo 2

Para escolher o pivô na primeira coluna, comparamos |2|,|4|,|3| e vemos que o maior é 4 (na linha 2). Então trocamos linha 1 com linha 2. A matriz de permutação é
P=0&1&01&0&00&0&1,
ficando
PA=4&5&12&3&13&4&6, Pb=9-40

Passo 3

Agora fazemos o LU de PA:
Primeiro pivô u11=4. Calculamos
ell21=24=0.5, ell31=34=0.75
Subtraímos para zerar abaixo do pivô:
linha 2(2,3,1)-0.5(4,5,1)=(0,0.5,0.5), linha 3(3,4,6)-0.75(4,5,1)=(0,0.25,5.25)
Na segunda etapa o pivô é 0.5 (maior entre 0.5 e 0.25), então sem troca. Temos
ell32=0.250.5=0.5,
e zeramos:
linha 3(0,0.25,5.25)-0.5(0,0.5,0.5)=(0,0,5)
Logo
$$
L= L=1&0&00.5&1&00.75&0.5&1, U=4&5&10&0.5&0.50&0&5 ,
U= .
$$

Passo 4

Para achar y=L^-1Pb, resolvemos Ly=Pb por substituição direta:
y1=9, 0.5y1+y2=-4implies0.5cdot9+y2=-4implies y2=-8.5, 0.75y1+0.5y2+y3=0implies0.75cdot9+0.5(-8.5)+y3=0implies2.5+y3=0implies y3=-2.5

Passo 5

O terceiro componente de L^-1Pb é $y_3=-2.5.

Resposta

-2,5000

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