Use o Teorema de Green para calcular as áreas das regiões descritas abaixo:
  1. integralC y d x-x d y, onde C é a circunferência de centro (0,0) e raio 1 orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
ointCy,dx - x,dy
onde C é a circunferência de centro (0,0) e raio 1, orientada no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que converte
ointC P,dx + Q,dy
numa integral dupla sobre a região D interior a C.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=y, Q(x,y)=-x
Pelo Teorema de Green:
ointC P,dx + Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Como
partial Qpartial x=-1, partial Ppartial y=1,
temos
partial Qpartial x-partial Ppartial y=-2

Passo 3

Logo
ointCy,dx - x,dy =integral duplaD(-2),dA =-2integral duplaDdA =-2;A(D),
onde A(D) é a área do disco de raio 1.

Passo 4

Sabendo que A(D)=picdot1^2=pi, concluímos
ointCy,dx - x,dy=-2pi

Resposta

-2pi

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