1. Um retângulo está inscrito em um círculo de 5 cm de raio. Se o comprimento do retângulo está diminuindo à razão de 2 cm por segundo, com que rapidez a área está variando, no instante em que o comprimento do retângulo for de 6 cm ?

Passo 1

O enunciado nos dá um retângulo inscrito num círculo de raio ,5 cm. Chamamos o comprimento do retângulo de ,x(t) e a largura de ,y(t). Sabemos que
dxdt=-2 cm/s
e queremos encontrar ,dAdt no instante em que ,x=6 cm. Para isso vamos usar derivação implícita na relação geométrica de inscrição e a regra do produto para a área.

Passo 2

Como o retângulo está inscrito, sua diagonal é igual ao diâmetro do círculo. Logo:
x^2 + y^2 = (2cdot 5)^2 = 100
Derivando ambos os lados em relação a t:
2xdxdt + 2ydydt = 0,
de onde isolamos
dydt = -xy,dxdt

Passo 3

No instante em que x=6 temos
y = raiz100 - 6^2 = 8 cm
Substituindo ,x=6, ,y=8 e ,dxdt=-2 em dydt=-xy,dxdt, vem
dydt = -68cdot(-2) = 32 cm/s

Passo 4

A área do retângulo é A = x,y. Pela regra do produto:
dAdt = xdydt + ydxdt
Substituindo x=6, y=8, dydt=tfrac32 e dxdt=-2, obtemos
dAdt = 6cdot32 + 8cdot(-2) = -7 cm^2/s

Resposta

dAdt = -7 cm^2/s

Exercícios relacionados