- Um retângulo está inscrito em um círculo de 5 cm de raio. Se o comprimento do retângulo está diminuindo à razão de 2 cm por segundo, com que rapidez a área está variando, no instante em que o comprimento do retângulo for de 6 cm ?
Passo 1
O enunciado nos dá um retângulo inscrito num círculo de raio
. Chamamos o comprimento do retângulo de
e a largura de
. Sabemos que
e queremos encontrar no instante em que
. Para isso vamos usar derivação implícita na relação geométrica de inscrição e a regra do produto para a área.
e queremos encontrar
Passo 2
Como o retângulo está inscrito, sua diagonal é igual ao diâmetro do círculo. Logo:
Derivando ambos os lados em relação a
:
de onde isolamos
Passo 3
No instante em que
temos
Substituindo
,
e
em
, vem
Passo 4
A área do retângulo é
. Pela regra do produto:
Substituindo
,
,
e
, obtemos