Determine:
integralpi^2 pi e^cos (t) sen(t) d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integralpi^2pi e^cos(t) sen(t),dt
O conteúdo envolvido é a técnica de substituição, aproveitando que a derivada de cos(t) é -sen(t).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = cos(t), du = -sen(t),dt Longrightarrow sen(t),dt = -,du
Assim a integral se transforma em
integralpi^2pi e^cos(t) sen(t),dt = integralt=pi^t=2pi e^u l(-dur) = -integralu=cos(pi)^u=cos(2pi) e^u,du

Passo 3

Integramos em u:
-integral e^u,du = -e^u + C
Portanto uma primitiva é F(u) = -e^u.

Passo 4

Voltando aos limites originais, quando t=pi temos u=cos(pi)=-1 e quando t=2pi temos u=cos(2pi)=1. Logo
integralpi^2pi e^cos(t) sen(t),dt = l[-e^ur]u=-1^u=1 = l(-e^1r) - l(-e^-1r) = e^-1 - e

Resposta

e^-1 - e

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