Obtenha a equação da reta normal à curva y=e^cosh x no ponto em que y=e.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta normal à curva
y = e^cosh x
no ponto em que y=e.
Para isso, precisamos ( 1) determinar o valor de x tal que y=e, ( 2) calcular a derivada y' para obter a inclinação da reta tangente, e ( 3) usar a inclinação da reta normal, que é o negativo do inverso da tangente.

Passo 2

Encontrar x tal que
e^cosh x = e
Tomando logaritmo natural em ambos os lados,
cosh x = 1
A única solução real é
x = 0
Logo o ponto é l(0,e^cosh 0r)=(0,e).

Passo 3

Calcular a derivada da função para achar a inclinação da tangente:
y = e^cosh x Longrightarrow y' = e^cosh x,ddx(cosh x) = e^cosh xsinh x
Em x=0 temos
y'(0) = e^cosh 0sinh 0 = e^1 cdot 0 = 0
Portanto, a reta tangente é horizontal (inclinação zero).

Passo 4

A reta normal é perpendicular à tangente. Se a tangente tem inclinação mrm tan=0, a reta normal tem inclinação
mrm norm = -1mrm tan
que tende a infinito, indicando uma reta vertical. Logo a reta normal é
x = 0

Resposta

A equação da reta normal é
x =0.

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