Um retângulo está inscrito em um círculo de raio 5 cm . Determine as dimensões do retângulo de maior área.
Passo 1
O enunciado diz que um retângulo está inscrito num círculo de raio
e pede as dimensões que tornam sua área máxima. O conteúdo envolve otimização com restrição geométrica: vamos relacionar os lados do retângulo com o raio do círculo e expressar a área em função de uma única variável.
Passo 2
Sejam
e
os comprimentos dos lados do retângulo. Como seus vértices estão sobre o círculo de raio
, o ponto
satisfaz
Multiplicando por 4, obtém-se a restrição
Passo 3
A área do retângulo é
Para reduzir a uma variável, isolamos
e definimos
com
.
Passo 4
Para achar o máximo, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Da condição
vem
Passo 5
No mesmo ponto,
Como
e
, esse é realmente um máximo. Portanto o retângulo de maior área é um quadrado cujos lados medem
cm.
Resposta
As dimensões do retângulo de maior área são
.