Um retângulo está inscrito em um círculo de raio 5 cm . Determine as dimensões do retângulo de maior área.

Passo 1

O enunciado diz que um retângulo está inscrito num círculo de raio ,5 cm e pede as dimensões que tornam sua área máxima. O conteúdo envolve otimização com restrição geométrica: vamos relacionar os lados do retângulo com o raio do círculo e expressar a área em função de uma única variável.

Passo 2

Sejam a e b os comprimentos dos lados do retângulo. Como seus vértices estão sobre o círculo de raio ,5 cm, o ponto l(tfraca2,tfracb2r) satisfaz
l(tfraca2r)^2+l(tfracb2r)^2=25
Multiplicando por 4, obtém-se a restrição
a^2+b^2=100

Passo 3

A área do retângulo é
A(a,b)=a,b
Para reduzir a uma variável, isolamos
b=raiz100-a^2,
e definimos
A(a)=a,raiz100-a^2,
com 0<a<10.

Passo 4

Para achar o máximo, derivamos A(a) em relação a a e igualamos a zero:
A'(a) =raiz100-a^2 + acdot-araiz100-a^2 =100-2a^2raiz100-a^2
Da condição A'(a)=0 vem
100-2a^2=0 Longrightarrow a^2=50 Longrightarrow a=5raiz2

Passo 5

No mesmo ponto,
b=raiz100-a^2=raiz50=5raiz2
Como A(0)=0 e A(10)=0, esse é realmente um máximo. Portanto o retângulo de maior área é um quadrado cujos lados medem 5raiz2 cm.

Resposta

As dimensões do retângulo de maior área são 5raiz2 cmtimes5raiz2 cm.

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