Um retângulo é inscrito no quarto de círculo delimitado pela curva definida pela equação x^2+y^2=100 e tal que x >= 0 e y >= 0. Sabendo que a origem é um dos vértices do retângulo e que seus lados são paralelos aos eixos de coordenadas, escreva as equações que definem o seu perímetro e a sua área como uma função apenas da coordenada x do seu vértice (x, y) que pertence ao arco do círculo. Qual é o domínio e a imagem de cada uma destas duas funções p(x) e A(x) ?

Passo 1

O problema trata de um retângulo inscrito num quarto de círculo de raio 10, limitado por x²+y²=100, x≥0, y≥0, com vértice na origem e lados paralelos aos eixos. Vamos expressar o perímetro e a área em função apenas de x, usando a relação do arco do círculo.

Passo 2

Da equação do círculo temos y≥0 dado por
y=raiz100-x^2
Essa é a relação que nos permite eliminar y e escrever todas as quantidades só em função de x.

Passo 3

O perímetro do retângulo é
p(x)=2,x+2,y
Substituindo y=\sqrt{100-x^2} vem
p(x)=2x+2raiz100-x^2
Geometricamente x varia de 0 até 10, ou seja dom§=[0,10]. Para a imagem, avaliamos nos extremos e no ponto crítico. Nos extremos p(0)=2⋅0+2⋅10=20 e p(10)=2⋅10+2⋅0=20. Derivando e igualando a zero encontra-se x=5√2, que dá p(5√2)=20√2≈28.3. Logo im§=[20,20√2].

Passo 4

A área do retângulo é
A(x)=x,y=xraiz100-x^2
Também com domínio x∈[0,10]. Nos extremos A(0)=0 e A(10)=0. Pelo cálculo de extrema (A’=0) obtém-se x=5√2, que leva a A(5√2)=50. Assim im(A)=[0,50].

Resposta

Funções e seus domínios e imagens:
p(x)=2x+2\sqrt{100-x^2}, dom§=[0,10], im§=[20,20\sqrt2]
A(x)=x\sqrt{100-x^2}, dom(A)=[0,10], im(A)=[0,50]

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