Um retângulo é inscrito no quarto de círculo delimitado pela curva definida pela equação
e tal que
e
. Sabendo que a origem é um dos vértices do retângulo e que seus lados são paralelos aos eixos de coordenadas, escreva as equações que definem o seu perímetro e a sua área como uma função apenas da coordenada
do seu vértice
que pertence ao arco do círculo. Qual é o domínio e a imagem de cada uma destas duas funções
e
?
Passo 1
O problema trata de um retângulo inscrito num quarto de círculo de raio 10, limitado por x²+y²=100, x≥0, y≥0, com vértice na origem e lados paralelos aos eixos. Vamos expressar o perímetro e a área em função apenas de x, usando a relação do arco do círculo.
Passo 2
Da equação do círculo temos y≥0 dado por
Essa é a relação que nos permite eliminar y e escrever todas as quantidades só em função de x.
Passo 3
O perímetro do retângulo é
Substituindo y=\sqrt{100-x^2} vem
Geometricamente x varia de 0 até 10, ou seja dom§=[0,10]. Para a imagem, avaliamos nos extremos e no ponto crítico. Nos extremos p(0)=2⋅0+2⋅10=20 e p(10)=2⋅10+2⋅0=20. Derivando e igualando a zero encontra-se x=5√2, que dá p(5√2)=20√2≈28.3. Logo im§=[20,20√2].
Passo 4
A área do retângulo é
Também com domínio x∈[0,10]. Nos extremos A(0)=0 e A(10)=0. Pelo cálculo de extrema (A’=0) obtém-se x=5√2, que leva a A(5√2)=50. Assim im(A)=[0,50].
Resposta
Funções e seus domínios e imagens:
p(x)=2x+2\sqrt{100-x^2}, dom§=[0,10], im§=[20,20\sqrt2]
A(x)=x\sqrt{100-x^2}, dom(A)=[0,10], im(A)=[0,50]