Um retângulo está inscrito em um semicírculo de raio
. Encontre as dimensões, em função de
, deste do retângulo para que ele tenha área máxima. Qual será esta área?
Passo 1
O enunciado pede para inscrever um retângulo num semicírculo de raio
de modo que sua área seja máxima. O conteúdo é otimização de funções usando derivada para encontrar máximos locais. Vamos precisar: 1) modelar a área do retângulo em função de uma variável, 2) derivar e igualar a zero, 3) determinar as dimensões.
Passo 2
Escolhemos o semi-eixo horizontal
como variável, de modo que a largura do retângulo seja
. A altura é dada pela equação do semicírculo:
Logo, a área do retângulo em função de
é
Passo 3
Para maximizar
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Igualando o numerador a zero:
Passo 4
Substituindo
na largura e altura:
Assim, a área máxima é
Resposta
Largura = r√2, Altura = r/√2, Área máxima = r².