Um retângulo está inscrito em um semicírculo de raio r. Encontre as dimensões, em função de r, deste do retângulo para que ele tenha área máxima. Qual será esta área?

Passo 1

O enunciado pede para inscrever um retângulo num semicírculo de raio r de modo que sua área seja máxima. O conteúdo é otimização de funções usando derivada para encontrar máximos locais. Vamos precisar: 1) modelar a área do retângulo em função de uma variável, 2) derivar e igualar a zero, 3) determinar as dimensões.

Passo 2

Escolhemos o semi-eixo horizontal x como variável, de modo que a largura do retângulo seja 2x. A altura é dada pela equação do semicírculo:
y = raizr^2 - x^2
Logo, a área do retângulo em função de x é
A(x) = (2x) cdot raizr^2 - x^2 = 2xraizr^2 - x^2

Passo 3

Para maximizar A(x), calculamos a derivada e igualamos a zero:
A'(x)=2raizr^2 - x^2+2xcdot-xraizr^2 - x^2 =2(r^2 - x^2)-2x^2raizr^2 - x^2 =2r^2-4x^2raizr^2 - x^2
Igualando o numerador a zero:
2r^2-4x^2=0 implies x^2=r^22 implies x=rraiz2

Passo 4

Substituindo x=tfracrraiz2 na largura e altura:
largura=2x=2cdotrraiz2=rraiz2,
a
Assim, a área máxima é
Amax=(rraiz2)cdotrraiz2=r^2

Resposta

Largura = r√2, Altura = r/√2, Área máxima = r².

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