Calcule os limites aplicando os limites fundamentais:
lim x 3(x-3) cdot cosec pi x cdot -1pi

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite . O conteúdo é limites fundamentais, especialmente limxto3(x-3)cdotcosec(pi x)cdot-1pi. Vamos usar substituição e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, escrevemos como cosec(pi x) e trazemos o 1/sin(pi x) para fora:

Passo 3

Em seguida, usamos a identidade trigonométrica para deslocamentos de sin. Seja h = x-3, então x=3+h e
sin(pi x)=sin(3pi+pi h)=sin(3pi)cos(pi h)+cos(3pi)sin(pi h) = -sin(pi h)

Passo 4

Substituindo x=3+h e sin(pi x)=-sin(pi h) na expressão, e lembrando que hto0 quando xto3, obtemos:
-(x-3)1pisin(pi x) = -h1pil(-sin(pi h)r) = hpisin(pi h)

Passo 5

Agora separamos a constante 1/pi e escrevemos o limite em termos de h:

Passo 6

Para aplicar o limite fundamental, fazemos t=pi h. Então tto0 e
hsin(pi h) = 1pipi hsin(pi h) xrightarrowhto0 1picdot1 = 1pi
Multiplicando pela outra constante 1/pi, chegamos ao resultado final.

Passo 7

Concluímos que o limite vale 1/pi^2.

Resposta

1pi^2

Exercícios relacionados