Quais as retas tangentes à curva
y=\frac{x^{2}}{1+x} são horizontais?
Escolha uma opção:
Não tem retas tangentes horizontais.
y=0 \mathrm{e} y=4
y=1 е y=-4
y=x е y=-4 x
y=0 e y=-4

Passo 1

O enunciado pede as retas tangentes horizontais à curva
y = \frac{x^{2}}{1+x}.
Para uma tangente ser horizontal, sua inclinação deve ser zero, ou seja, precisamos resolver \,y'=0, onde y' é a derivada de y.

Passo 2

Vamos calcular \,y' usando a regra do quociente. Para
y = \frac{x^{2}}{1+x}
temos
y' = \frac{(2x)(1+x) - x^{2}\cdot1}{(1+x)^{2}} = \frac{2x + 2x^{2} - x^{2}}{(1+x)^{2}} = \frac{x(x+2)}{(1+x)^{2}}.

Passo 3

Para determinar onde a derivada é zero, basta igualar o numerador a zero:
x(x+2) = 0
Logo as soluções são
x = 0 \quad\text{ou}\quad x = -2.

Passo 4

Agora calculemos y nesses pontos para obter as retas tangentes:
  • Em x=0: y(0) = \frac{0^{2}}{1+0} = 0.A reta tangente é y = 0.
  • Em x=-2: y(-2) = \frac{(-2)^{2}}{1-2} = \frac{4}{-1} = -4.A reta tangente é y = -4.

Resposta

y=0 e y=-4

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