Um curso de inglês é dividido em quatro partes: vocabulário, gramática, conversação e interpretação de textos. Todos os dias, essas partes são estudadas, mas nunca na mesma ordem. Em quantos dias se esgotará a seqüência possível de aulas para o curso?
Passo 1
O enunciado diz que o curso tem quatro partes: vocabulário, gramática, conversação e interpretação de textos. Todos os dias são estudadas essas quatro partes, mas nunca na mesma ordem. A pergunta é: em quantos dias se esgotará a sequência possível de aulas para o curso?
Informações relevantes extraídas do enunciado: partes distintas; cada dia é uma ordenação dessas
partes; não se repete a mesma ordem em dias diferentes; queremos contar quantas ordens possíveis existem (ou seja, quantos dias até usar todas).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Quando queremos contar de quantas maneiras diferentes podemos ordenar um conjunto de objetos distintos e a ordem importa, usamos a ideia de “permutação” (vou explicar isso passo a passo). Aqui temos
itens e queremos todas as ordens possíveis sem repetição. Por que a ordem importa? Porque “vocabulário, gramática, conversação, interpretação” é diferente de “gramática, vocabulário, conversação, interpretação”. Então precisamos contar todas as sequências distintas de comprimento
formadas pelos
itens.
Passo 3
Regra de contagem multiplicativa (a chave): se uma tarefa é feita em etapas sucessivas e a primeira etapa pode ser feita de
maneiras, a segunda de
maneiras (dependendo da escolha da primeira), a terceira de
maneiras, etc., então o total de maneiras é
. Aplicando aqui: para formar uma ordem das
partes temos
escolhas para o primeiro lugar; depois, como não repetimos, restam
escolhas para o segundo; depois
para o terceiro; e por fim
para o quarto. Pelo princípio multiplicativo:
Passo 4
Definição e notação de fatorial: para um inteiro positivo
, define-se
Isso é útil porque o número de maneiras de ordenar
objetos distintos é exatamente
. No nosso caso
, então estamos calculando
.
Passo 5
Calculemos explicitamente
:
Faço as multiplicações passo a passo para você ver:
Logo, há
ordens distintas das
partes.
Passo 6
Interpretação final e dica para prova: isso significa que, se cada dia você usa uma ordem distinta e nunca repete, você vai usar todas as ordens possíveis em
dias. Uma maneira rápida de lembrar na prova: pense “quantas maneiras de permutar
itens?” e responda
. Se quiser praticar, faça o mesmo raciocínio para
itens:
— você pode até listar as
ordens para fixar a ideia.