Um curso de inglês é dividido em quatro partes: vocabulário, gramática, conversação e interpretação de textos. Todos os dias, essas partes são estudadas, mas nunca na mesma ordem. Em quantos dias se esgotará a seqüência possível de aulas para o curso?

Passo 1

O enunciado diz que o curso tem quatro partes: vocabulário, gramática, conversação e interpretação de textos. Todos os dias são estudadas essas quatro partes, mas nunca na mesma ordem. A pergunta é: em quantos dias se esgotará a sequência possível de aulas para o curso?
Informações relevantes extraídas do enunciado: 4 partes distintas; cada dia é uma ordenação dessas 4 partes; não se repete a mesma ordem em dias diferentes; queremos contar quantas ordens possíveis existem (ou seja, quantos dias até usar todas).

Passo 2

Quando queremos contar de quantas maneiras diferentes podemos ordenar um conjunto de objetos distintos e a ordem importa, usamos a ideia de “permutação” (vou explicar isso passo a passo). Aqui temos 4 itens e queremos todas as ordens possíveis sem repetição. Por que a ordem importa? Porque “vocabulário, gramática, conversação, interpretação” é diferente de “gramática, vocabulário, conversação, interpretação”. Então precisamos contar todas as sequências distintas de comprimento 4 formadas pelos 4 itens.

Passo 3

Regra de contagem multiplicativa (a chave): se uma tarefa é feita em etapas sucessivas e a primeira etapa pode ser feita de a maneiras, a segunda de b maneiras (dependendo da escolha da primeira), a terceira de c maneiras, etc., então o total de maneiras é a\cdot b\cdot c\cdots. Aplicando aqui: para formar uma ordem das 4 partes temos 4 escolhas para o primeiro lugar; depois, como não repetimos, restam 3 escolhas para o segundo; depois 2 para o terceiro; e por fim 1 para o quarto. Pelo princípio multiplicativo:
\text{total} = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1.

Passo 4

Definição e notação de fatorial: para um inteiro positivo n, define-se
n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1.
Isso é útil porque o número de maneiras de ordenar n objetos distintos é exatamente n!. No nosso caso n=4, então estamos calculando 4!.

Passo 5

Calculemos explicitamente 4!:
4! = 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1.
Faço as multiplicações passo a passo para você ver:
4\cdot 3 = 12,
12\cdot 2 = 24,
24\cdot 1 = 24.
Logo, há 24 ordens distintas das 4 partes.

Passo 6

Interpretação final e dica para prova: isso significa que, se cada dia você usa uma ordem distinta e nunca repete, você vai usar todas as ordens possíveis em 24 dias. Uma maneira rápida de lembrar na prova: pense “quantas maneiras de permutar 4 itens?” e responda 4!. Se quiser praticar, faça o mesmo raciocínio para 3 itens: 3! = 6 — você pode até listar as 6 ordens para fixar a ideia.

Resposta

24 dias

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