Dois baralhos idênticos de
cartas cada uma, são embaralhadas separadamente e de cada baralho se retira cartas, comparando-as entre si na ordem em que forem extraídos. Qual é a probabilidade de que ocorra ao menos uma concordância?.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. Tem dois baralhos iguais com
cartas cada um. A gente embaralha os dois baralhos de forma independente e vai tirando as cartas um par de cada vez (uma do baralho A e a correspondente do baralho B) na mesma posição. Queremos saber a probabilidade de que, em pelo menos uma dessas posições, as cartas sejam iguais (“concordância”).
Conteúdo: probabilidade clássica, contagem de permutações e princípio da inclusão–exclusão.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- Que, ao comparar os dois baralhos, a ordem relativa das cartas é uma permutação aleatória de tamanho
. - Cálculo de P(nenhuma concordância) via inclusão–exclusão, pois isso é exatamente o número de derangements (permutations sem ponto fixo).
- A probabilidade de “ao menos uma concordância” é o complemento de “nenhuma concordância”.
Passo 2
Primeiro, modelagem: se eu fixo a ordem do baralho A, o baralho B, embaralhado ao acaso, corresponde a uma permutação aleatória
de
. Uma “concordância” na posição
significa
, ou seja, um ponto fixo.
Então, vamos definir o evento
= “há concordância na posição
”.
Queremos
Queremos
Passo 3
Como calcular
?
- O total de permutações de
cartas é . - O número de permutações sem ponto fixo (derangements) chama-se
.
Pelo princípio da inclusão–exclusão, a fração de permutações sem nenhum ponto fixo é
A ideia de inclusão–exclusão aqui é: começamos somando as permutações que evitam cada
, depois subtraímos as que evitam 2 simultaneamente, e por aí vai, até
interseções. Depois divide por
para virar probabilidade.
Passo 4
Finalmente, a probabilidade de “ao menos uma concordância” é o complemento:
E, se
for grande, essa soma
se aproxima de
, então dá quase
.