Dois baralhos idênticos de n cartas cada uma, são embaralhadas separadamente e de cada baralho se retira cartas, comparando-as entre si na ordem em que forem extraídos. Qual é a probabilidade de que ocorra ao menos uma concordância?.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. Tem dois baralhos iguais com cartas cada um. A gente embaralha os dois baralhos de forma independente e vai tirando as cartas um par de cada vez (uma do baralho A e a correspondente do baralho B) na mesma posição. Queremos saber a probabilidade de que, em pelo menos uma dessas posições, as cartas sejam iguais (“concordância”).
Conteúdo: probabilidade clássica, contagem de permutações e princípio da inclusão–exclusão.
O que vamos usar:
  1. Que, ao comparar os dois baralhos, a ordem relativa das cartas é uma permutação aleatória de tamanho .
  2. Cálculo de P(nenhuma concordância) via inclusão–exclusão, pois isso é exatamente o número de derangements (permutations sem ponto fixo).
  3. A probabilidade de “ao menos uma concordância” é o complemento de “nenhuma concordância”.

Passo 2

Primeiro, modelagem: se eu fixo a ordem do baralho A, o baralho B, embaralhado ao acaso, corresponde a uma permutação aleatória Pl(cupi=1^n Air) ;=; 1 - Pl(capi=1^n Ai^cr) ;=; 1 - P(nenhum ponto fixo) de . Uma “concordância” na posição significa , ou seja, um ponto fixo.
Então, vamos definir o evento = “há concordância na posição ”.
Queremos

Passo 3

Como calcular P(nenhum ponto fixo) =Dnn! =sumk=0^n(-1)^kk! ?
  • O total de permutações de cartas é .
  • O número de permutações sem ponto fixo (derangements) chama-se .
Pelo princípio da inclusão–exclusão, a fração de permutações sem nenhum ponto fixo é
A ideia de inclusão–exclusão aqui é: começamos somando as permutações que evitam cada , depois subtraímos as que evitam 2 simultaneamente, e por aí vai, até interseções. Depois divide por para virar probabilidade.

Passo 4

Finalmente, a probabilidade de “ao menos uma concordância” é o complemento:
P(ao menos 1 concordância) =1 - P(nenhum ponto fixo) =1 - sumk=0^n(-1)^kk! â
E, se for grande, essa soma se aproxima de , então dá quase .

Resposta

boxed1 - sumk=0^n(-1)^kk!

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