) Se T: R^{2} \rightarrow R^{3} a transformação linear definida por:
T\left(\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2}\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l}x_{2} \\\\ -5 x_{1}+13 x_{2} \\\\ -7 x_{1}+16 x_{2}\end{array}\right]
Encontre a matriz de transformação T em relação às bases B=\left\{u_{1}, u_{2}\right\} de \mathrm{R}^{2} e B^{\prime}=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} de \mathrm{R}^{3}, sendo:
u_{1}=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 1\end{array}\right], u_{2}=\left[\begin{array}{l}5 \\\\ 2\end{array}\right], v_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ -1\end{array}\right], v_{2}=\left[\begin{array}{l}-1 \\\\ 2 \\\\ 2\end{array}\right], v_{3}=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3,\quad T\bigl([x_{1},x_{2}]^{T}\bigr)= \begin{bmatrix} x_{2}\\\\ -5x_{1}+13x_{2}\\\\ -7x_{1}+16x_{2} \end{bmatrix},
e pede a matriz de T na base B=\{u_{1},u_{2}\} de \mathbb{R}^2 e na base B'=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} de \mathbb{R}^3. Vamos usar a definição: a j-ésima coluna de [T]_{B',B} é o vetor coordenadas de T(u_{j}) em B'.

Passo 2

Calculamos T(u_{1}) com u_{1}=[3,1]^{T}:
T(u_{1})= \begin{bmatrix} 1\\\\ -5\cdot 3+13\cdot 1\\\\ -7\cdot 3+16\cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\\\ -2\\\\ -5 \end{bmatrix}.

Passo 3

Queremos \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha\,v_{1}+\beta\,v_{2}+\gamma\,v_{3} = \begin{bmatrix}1\\\ -2\\\ -5\end{bmatrix},
onde
v_{1}=\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{bmatrix},\; v_{2}=\begin{bmatrix}-1\\\ 2\\\ 2\end{bmatrix},\; v_{3}=\begin{bmatrix}0\\\ 1\\\ 2\end{bmatrix}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} \alpha - \beta = 1,\\\\ 2\beta + \gamma = -2,\\\\ -\alpha + 2\beta +2\gamma = -5. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema, de \alpha=\beta+1 e \gamma=-2-2\beta, substituímos em
-\alpha+2\beta+2\gamma=-5 e achamos \beta=0, daí \alpha=1, \gamma=-2.
Logo as coordenadas de T(u_{1}) em B' são
[\,T(u_{1})\,]_{B'} = \begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ -2\end{bmatrix}.

Passo 5

Agora T(u_{2}) com u_{2}=[5,2]^{T}:
T(u_{2})= \begin{bmatrix} 2\\\\ -5\cdot 5+13\cdot 2\\\\ -7\cdot 5+16\cdot 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\\\ 1\\\\ -3 \end{bmatrix}.
Procuramos \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3} = \begin{bmatrix}2\\\ 1\\\ -3\end{bmatrix},
o que dá o sistema
\begin{cases} \alpha - \beta = 2,\\\\ 2\beta + \gamma = 1,\\\\ -\alpha +2\beta +2\gamma = -3. \end{cases}

Passo 6

Resolvendo temos \beta=1, \alpha=3, \gamma=-1.
Logo as coordenadas de T(u_{2}) em B' são
[\,T(u_{2})\,]_{B'} = \begin{bmatrix}3\\\ 1\\\ -1\end{bmatrix}.
A matriz de T relativa a (B,B') é a 3\times2 cujas colunas são esses vetores.

Resposta

[T]_{B',B} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\\\ 0 & 1\\\\ -2 & -1 \end{pmatrix}.

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