A: R^{4} \rightarrow R^{3} é a transformação linear definida pela matriz A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 2 & -3 \\\\ 2 & 1 & -1 & 5 \\\\ 4 & 3 & 3 & -1\end{array}\right].
a) Dado v=(1,-4,3,1) verifique se v \in \mathrm{~N}(A)
b) Determine uma base para o núcleo de A.
c) Determine uma base para a imagem de A.
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear A\colon \mathbb{R}^{4}\to \mathbb{R}^{3} definida pela matriz
e pede:
a) verificar se v=(1,-4,3,1) pertence ao núcleo de A,
b) determinar uma base de \ker(A),
c) determinar uma base de \mathrm{Im}(A).
Para isso vamos usar o cálculo de A\,v e eliminação de Gauss para resolver A\,x=0, além do critério de colunas-pivô para imagem.
Passo 2
Para ver se v\in \ker(A) calculamos A\,v. As componentes são