Uma roda com 16 raios girando no sentido horário é filmada. O fitme é passado em um projetor com uma taxa de 24 quadros / s, que e a taxa correta do projetor. Entretanto, na tela, a roda parece girar no sentido anti-horário a 4,0 rev / min. Encontre a menor velocidade angular possíyel na qual a roda estava girando.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que uma roda com 16 raios está girando no sentido horário e foi filmada a 24 frames/s. Quando projetam de volta a 24 frames/s, ela “anca” (fica parecendo) girar no sentido anti-horário a 4,0 rev/min. A matéria envolvida é o efeito estroboscópico (aliasing temporal): como a câmera “amostra” a posição da roda em saltos de tempo, a gente só vê a diferença de posição entre frames, que pode dar a impressão de rotação contrária e bem mais lenta. Para resolver, vamos usar o conceito de deslocamento angular entre frames e o “mod” dado pelos 16 raios (ou seja, a roda é idêntica a cada 1/16 de volta).

Passo 2

Entre dois frames consecutivos demora Δt = 1/24 s. Se a roda gira com velocidade angular real ω (em rev/s, positiva no sentido anti-horário), então o deslocamento entre frames é
De
Mas como a roda tem 16 raios, ela se repete a cada 1/16 de volta. Então o que a gente vê de fato (o aparente) é
De

Passo 3

Na tela a roda “apparently” gira anti-horário a 4,0 rev/min = tfrac460 rev/s. Essa é a velocidade aparente:
$$\omega_{\rm app} = \Delta\theta_{\rm app},\times 24\quad\Longrightarrow\quad
\Delta\theta_{\rm app} = \frac{\omega_{\rm app}}{24} = \frac{4/60}{24} = \frac1{360}\ rev. omegarm app = Deãóáçã\Delta\theta \bmod \frac1{16} = \frac1{360},. $$

Passo 4

Escrevendo De, a condição vira
omega24 = 1360 + ncdot116, nin Z
Multiplicando por 24:
$$\omega = \frac{24}{360} + n\cdot\frac{24}{16}
= \frac1{15} + \tfrac32,n\quad(em rev/s). omega = 24360 + ncdot2416 = 115 + tfrac32,n(em rev/s)\omega = 4 + 90,n\quad(rev/min).$$
Como a roda realmente gira no sentido horário, queremos ω negativa. O valor de menor módulo ocorre pra omega = 4 + 90,n(rev/min):
n=-1

Resposta

A menor velocidade angular real da roda é 86 rev/min no sentido horário.

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