A posiçảo angular de um ponto sobre a borda de uma roda girando é descrita por
. Qual é a velocidade angular em
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre movimento circular onde a posição angular de um ponto na borda de uma roda está dada por uma expressão com função do tempo. Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade angular desse ponto nos instantes de $ t = 2,0 , s $ e $ t = 4,0 , s $. Para isso, vamos precisar entender como a posição angular se relaciona com a velocidade angular e como realizar derivadas de funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é posição angular e velocidade angular. A posição angular, representada por $ \phi $, indica onde o ponto está na roda em um determinado instante. Já a velocidade angular, $ \omega $, nos diz quão rápido esse ponto está girando naquele momento.
Matematicamente, a velocidade angular é a derivada da posição angular em relação ao tempo. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos pegar a expressão da posição angular que foi dada:
Para encontrar $ \omega(t) $, vamos derivar cada termo dessa função em relação ao tempo $ t $.
Passo 4
Vamos derivar termo por termo:
-
Primeiro termo: $ 4,0 , rad/s \cdot t $A derivada de $ at $ em relação a $ t $ é simplesmente $ a $. Então:
-
Segundo termo: $ -3,0 , rad/s^2 \cdot t^2 $A derivada de $ bt^2 $ é $ 2bt $. Então:
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Terceiro termo: $ 1,0 , rad/s^3 \cdot t^3 $A derivada de $ ct^3 $ é $ 3ct^2 $. Então:
Passo 5
Juntando todas as derivadas, temos a expressão da velocidade angular:
Passo 6
Agora, vamos calcular $ \omega(t) $ para os instantes solicitados.
Para $ t = 2,0 , s $:
Para $ t = 4,0 , s $:
Resposta
A velocidade angular é de $ 4,0 , rad/s $ em $ t = 2,0 , s $ e $ 28,0 , rad/s $ em $ t = 4,0 , s $.