A posiçảo angular de um ponto sobre a borda de uma roda girando é descrita por phi=(4,0 rad / s) t-(3,0 rad / s^2) t^2+ (1,0 rad / s^3) t^3. Qual é a velocidade angular em t=2,0 s e cm t=4,0 s?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre movimento circular onde a posição angular de um ponto na borda de uma roda está dada por uma expressão com função do tempo. Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade angular desse ponto nos instantes de $ t = 2,0 , s $ e $ t = 4,0 , s $. Para isso, vamos precisar entender como a posição angular se relaciona com a velocidade angular e como realizar derivadas de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é posição angular e velocidade angular. A posição angular, representada por $ \phi $, indica onde o ponto está na roda em um determinado instante. Já a velocidade angular, $ \omega $, nos diz quão rápido esse ponto está girando naquele momento.
Matematicamente, a velocidade angular é a derivada da posição angular em relação ao tempo. Ou seja:
phi

Passo 3

Agora, vamos pegar a expressão da posição angular que foi dada:
phi(t) = (4,0 , rad/s) cdot t - (3,0 , rad/s^2) cdot t^2 + (1,0 , rad/s^3) cdot t^3
Para encontrar $ \omega(t) $, vamos derivar cada termo dessa função em relação ao tempo $ t $.

Passo 4

Vamos derivar termo por termo:
  1. Primeiro termo: $ 4,0 , rad/s \cdot t $
    A derivada de $ at $ em relação a $ t $ é simplesmente $ a $. Então:
    4,0 , rad/s cdot t
  2. Segundo termo: $ -3,0 , rad/s^2 \cdot t^2 $
    A derivada de $ bt^2 $ é $ 2bt $. Então:
    at
  3. Terceiro termo: $ 1,0 , rad/s^3 \cdot t^3 $
    A derivada de $ ct^3 $ é $ 3ct^2 $. Então:
    t

Passo 5

Juntando todas as derivadas, temos a expressão da velocidade angular:
omega(t) = 4,0 , rad/s - 6,0 , t , rad/s^2 + 3,0 , t^2 , rad/s^3

Passo 6

Agora, vamos calcular $ \omega(t) $ para os instantes solicitados.
Para $ t = 2,0 , s $:
omega(t)
t = 2,0 , s
Para $ t = 4,0 , s $:
omega(2,0) = 4,0 - 6,0 times 2,0 + 3,0 times (2,0)^2
omega(2,0) = 4,0 - 12,0 + 12,0 = 4,0 , rad/s

Resposta

A velocidade angular é de $ 4,0 , rad/s $ em $ t = 2,0 , s $ e $ 28,0 , rad/s $ em $ t = 4,0 , s $.

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