A posiçảo angular de um ponto sobre a borda de uma roda girando é descrita por phi=(4,0 rad / s) t-(3,0 rad / s^2) t^2+ (1,0 rad / s^3) t^3. Qual é a accleração angular instantânea no início e no final deste intervalo de tempo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a posição angular de um ponto na borda de uma roda que está girando é dada pela fórmula:
phi(t) = 4,0 rad/s cdot t - 3,0 rad/s^2 cdot t^2 + 1,0 rad/s^3 cdot t^3
O que a gente precisa encontrar é a aceleração angular instantânea no início e no final desse intervalo de tempo. Vamos usar conceitos de cinemática rotacional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração angular é a segunda derivada da posição angular em relação ao tempo. Mas antes disso, precisamos encontrar a velocidade angular, que é a primeira derivada de phi(t).
Então, derivando phi(t):
omega(t) = dphidt = ddt (4,0 t - 3,0 t^2 + 1,0 t^3)
Calculando cada termo:
  • A derivada de 4,0 t é 4,0 rad/s.
  • A derivada de -3,0 t^2 é -6,0 t rad/s^2.
  • A derivada de 1,0 t^3 é 3,0 t^2 rad/s^3.
Então:
omega(t) = 4,0 - 6,0 t + 3,0 t^2

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração angular alpha(t), que é a derivada da velocidade angular:
alpha(t) = domegadt = ddt (4,0 - 6,0 t + 3,0 t^2)
Calculando cada termo:
  • A derivada de 4,0 é 0.
  • A derivada de -6,0 t é -6,0 rad/s^2.
  • A derivada de 3,0 t^2 é 6,0 t rad/s^3.
Então:
alpha(t) = -6,0 + 6,0 t

Passo 4

Vamos agora calcular a aceleração angular nos dois instantes solicitados:
  1. No início do intervalo de tempo ( t = 0):
alpha(0) = -6,0 + 6,0 times 0 = -6,0 rad/s^2
  1. No final do intervalo de tempo ( t = T):
Sem um valor específico para T, deixamos a expressão geral:
alpha(T) = -6,0 + 6,0 T
Se você tiver um valor específico para T, basta substituir na equação acima.

Resposta

A aceleração angular instantânea é de -6,0 rad/s^2 no início do intervalo e de -6,0 + 6,0 T rad/s^2 no final do intervalo de tempo T.

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