A posiçảo angular de um ponto sobre a borda de uma roda girando é descrita por
. Qual é a accleração angular instantânea no início e no final deste intervalo de tempo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a posição angular de um ponto na borda de uma roda que está girando é dada pela fórmula:
O que a gente precisa encontrar é a aceleração angular instantânea no início e no final desse intervalo de tempo. Vamos usar conceitos de cinemática rotacional para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração angular é a segunda derivada da posição angular em relação ao tempo. Mas antes disso, precisamos encontrar a velocidade angular, que é a primeira derivada de
.
Então, derivando
:
Calculando cada termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração angular
, que é a derivada da velocidade angular:
Calculando cada termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então:
Passo 4
Vamos agora calcular a aceleração angular nos dois instantes solicitados:
- No início do intervalo de tempo (
):
- No final do intervalo de tempo (
):
Sem um valor específico para
, deixamos a expressão geral:
Se você tiver um valor específico para
, basta substituir na equação acima.
Resposta
A aceleração angular instantânea é de
no início do intervalo e de
no final do intervalo de tempo
.