Uma roda de momento de inércia
gira com velocidade angular de
em torno de um eixo de momento de inércia desprezível. Uma segunda roda, de momento de inércia de
, inicialmente em repouso, é acoplada bruscamente ao mesmo eixo.
a) Qual a velocidade angular da combinação de eixo e rodas?
b) Qual a fração da energia cinética original é perdida?
a) Qual a velocidade angular da combinação de eixo e rodas?
b) Qual a fração da energia cinética original é perdida?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados fornecidos:
- Momento de inércia da primeira roda:
. - Velocidade angular inicial da primeira roda:
. - Momento de inércia da segunda roda (inicialmente em repouso):
. - A segunda roda é acoplada bruscamente ao mesmo eixo (eixo de momento de inércia desprezível).
O que o enunciado pede:
(a) Qual a velocidade angular da combinação (rodas acopladas) após o acoplamento?
(b) Qual a fração da energia cinética original que é perdida no processo?
(a) Qual a velocidade angular da combinação (rodas acopladas) após o acoplamento?
(b) Qual a fração da energia cinética original que é perdida no processo?
Passo 2
Princípio físico que vamos usar e por quê.
Quando duas rodas são acopladas bruscamente em um mesmo eixo sem torques externos significativos sobre o conjunto, o momento angular total é conservado. Isso significa que antes do acoplamento e depois do acoplamento o momento angular do sistema (roda 1 + roda 2) é o mesmo.
Fórmula da conservação do momento angular:
onde
-
é a velocidade angular inicial da primeira roda, -
é a velocidade angular inicial da segunda roda (aqui ), -
é a velocidade angular final comum das duas rodas acopladas.
Como
, obtemos a fórmula prática que vamos usar:
Antes de aplicar essa fórmula, precisamos colocar
em unidades do Sistema Internacional (rad/s). Vamos fazer isso no próximo passo.
Passo 3
Converter
de
para
.
Regra de conversão:
e
. Então
Calculemos passo a passo:
Avaliação numérica:
(Arredondei para três casas decimais para uso prático nos cálculos seguintes.)
Passo 4
Calcular a velocidade angular final
usando conservação do momento angular.
Aplicando a fórmula
primeiro calculemos
:
Agora:
Cálculo numérico:
Se desejar também em revoluções por minuto:
Passo 5
Calcular a fração da energia cinética original que é perdida.
Fórmula da energia cinética rotacional:
onde
é o momento de inércia e
a velocidade angular.
Energia cinética inicial (apenas a roda 1 gira):
Energia cinética final (ambas girando com
):
Usando
podemos simplificar
:
Agora a razão entre energia final e inicial:
Portanto a fração da energia original que RESTA é
, e a fração que é perdida é
Substituindo números:
Em percentual isso é aproximadamente
da energia cinética inicial que se perde (virando calor, som, etc., devido ao acoplamento inelástico).
Resposta
a)
b) Fração perdida (ou
)
b) Fração perdida