Uma roda de momento de inércia 1,27 \mathrm{~kg} . \mathrm{m}^{2} gira com velocidade angular de 824 \mathrm{rev} . / \mathrm{min} em torno de um eixo de momento de inércia desprezível. Uma segunda roda, de momento de inércia de 4,85 \mathrm{~kg} . \mathrm{m}^{2}, inicialmente em repouso, é acoplada bruscamente ao mesmo eixo.
a) Qual a velocidade angular da combinação de eixo e rodas?
b) Qual a fração da energia cinética original é perdida?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados fornecidos:
  • Momento de inércia da primeira roda: I_1 = 1,27\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2.
  • Velocidade angular inicial da primeira roda: 824\\ \text{rev/min}.
  • Momento de inércia da segunda roda (inicialmente em repouso): I_2 = 4,85\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2.
  • A segunda roda é acoplada bruscamente ao mesmo eixo (eixo de momento de inércia desprezível).
O que o enunciado pede:
(a) Qual a velocidade angular da combinação (rodas acopladas) após o acoplamento?
(b) Qual a fração da energia cinética original que é perdida no processo?

Passo 2

Princípio físico que vamos usar e por quê.
Quando duas rodas são acopladas bruscamente em um mesmo eixo sem torques externos significativos sobre o conjunto, o momento angular total é conservado. Isso significa que antes do acoplamento e depois do acoplamento o momento angular do sistema (roda 1 + roda 2) é o mesmo.
Fórmula da conservação do momento angular:
I_1\omega_1 + I_2\omega_2^{\text{(inicial)}} = (I_1+I_2)\omega_f,
onde
  • \omega_1 é a velocidade angular inicial da primeira roda,
  • \omega_2^{\text{(inicial)}} é a velocidade angular inicial da segunda roda (aqui 0),
  • \omega_f é a velocidade angular final comum das duas rodas acopladas.
Como \omega_2^{\text{(inicial)}}=0, obtemos a fórmula prática que vamos usar:
\omega_f = \frac{I_1}{I_1+I_2}\,\omega_1.
Antes de aplicar essa fórmula, precisamos colocar \omega_1 em unidades do Sistema Internacional (rad/s). Vamos fazer isso no próximo passo.

Passo 3

Converter \omega_1 de \text{rev/min} para \text{rad/s}.
Regra de conversão: 1\\ \text{rev} = 2\pi\\ \text{rad} e 1\\ \text{min} = 60\\ \text{s}. Então
\omega_1 = 824\\ \frac{\text{rev}}{\text{min}}\times\frac{2\pi\\ \text{rad}}{1\\ \text{rev}}\times\frac{1\\ \text{min}}{60\\ \text{s}}.
Calculemos passo a passo:
\omega_1 = 824\times\frac{2\pi}{60}\\ \text{rad/s} = \left(\frac{824}{60}\right)\!2\pi\\ \text{rad/s}.
Avaliação numérica:
\omega_1 \approx 86,289\\ \text{rad/s}.
(Arredondei para três casas decimais para uso prático nos cálculos seguintes.)

Passo 4

Calcular a velocidade angular final \omega_f usando conservação do momento angular.
Aplicando a fórmula
\omega_f = \frac{I_1}{I_1+I_2}\,\omega_1,
primeiro calculemos I_1+I_2:
I_1+I_2 = 1,27 + 4,85 = 6,12\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2.
Agora:
\omega_f = \frac{1,27}{6,12}\times 86,289\\ \text{rad/s}.
Cálculo numérico:
\frac{1,27}{6,12}\approx 0,207516, \qquad \omega_f \approx 0,207516\times 86,289 \approx 17,908\\ \text{rad/s}.
Se desejar também em revoluções por minuto:
\omega_f\\ (\text{rev/min}) = \omega_f\\ (\text{rad/s})\times\frac{60}{2\pi} \approx 17,908\times\frac{60}{2\pi}\approx 171,0\\ \text{rev/min}.

Passo 5

Calcular a fração da energia cinética original que é perdida.
Fórmula da energia cinética rotacional:
K = \tfrac{1}{2}I\omega^2,
onde I é o momento de inércia e \omega a velocidade angular.
Energia cinética inicial (apenas a roda 1 gira):
K_i = \tfrac{1}{2}I_1\omega_1^2.
Energia cinética final (ambas girando com \omega_f):
K_f = \tfrac{1}{2}(I_1+I_2)\omega_f^2.
Usando \omega_f = \dfrac{I_1}{I_1+I_2}\omega_1 podemos simplificar K_f:
K_f = \tfrac{1}{2}(I_1+I_2)\left(\frac{I_1}{I_1+I_2}\omega_1\right)^2 = \tfrac{1}{2}\frac{I_1^2}{I_1+I_2}\omega_1^2.
Agora a razão entre energia final e inicial:
\frac{K_f}{K_i} = \frac{\tfrac{1}{2}\dfrac{I_1^2}{I_1+I_2}\omega_1^2}{\tfrac{1}{2}I_1\omega_1^2} = \frac{I_1}{I_1+I_2}.
Portanto a fração da energia original que RESTA é \dfrac{I_1}{I_1+I_2}, e a fração que é perdida é
\text{fração perdida} = 1 - \frac{I_1}{I_1+I_2} = \frac{I_2}{I_1+I_2}.çã
Substituindo números:
\text{fração perdida} = \frac{4,85}{6,12}\approx 0,792484\approx 0,7925.çã
Em percentual isso é aproximadamente 79,25\% da energia cinética inicial que se perde (virando calor, som, etc., devido ao acoplamento inelástico).

Resposta

a) \omega_f \approx 17,908\\ \text{rad/s} \approx 171,0\\ \text{rev/min}
b) Fração perdida \approx 0,7925 (ou 79,25\%)

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