Considere um gás monoatômico ideal. Esse gás sofre uma compressão adiabática, indo de um ponto A até o ponto B no diagrama
. Logo em seguida esse gás sofre um aquecimento isobárico, indo de B para C nesse mesmo diagrama. Esse gás então sofre uma expansão adiabática, indo de C para D e em seguida um resfriamento isocórico, indo de D e retornando ao ponto inicial A . Considere fornecido
e
.
(a) Construa o diagrama
desse gás.
(b) Determine a temperatura em
e D ;
(c) Determine o calor absorvido e o trabalho realizado em cada um dos quatro processos realizados.
(d) Determine a variação da energia interna e a variação da entropia em cada um dos quatro processos realizados.
(e) Qual a quantidade total de calor absorvido e de trabalho realizado ao longo de todo o processo (i.e. saindo de A retornando ao próprio A )? E a energia interna e a entropia?
(a) Construa o diagrama
(b) Determine a temperatura em
(c) Determine o calor absorvido e o trabalho realizado em cada um dos quatro processos realizados.
(d) Determine a variação da energia interna e a variação da entropia em cada um dos quatro processos realizados.
(e) Qual a quantidade total de calor absorvido e de trabalho realizado ao longo de todo o processo (i.e. saindo de A retornando ao próprio A )? E a energia interna e a entropia?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (resumido e claro):
- Dados fornecidos:
e . - Tipo do gás: gás monoatômico ideal (portanto
, , ). - Sequência de estados/processos no diagrama
: -
: compressão adiabática reversível. -
: aquecimento isobárico ( ). -
: expansão adiabática reversível. -
: resfriamento isocórico (volume constante).
-
- Perguntas:
(a) construir o diagrama(descrever posições dos pontos e curvas);
(b) determinar as temperaturas em;
(c) determinar o calor absorvidoe o trabalho realizado em cada um dos quatro processos;
(d) determinar a variação da energia internae a variação de entropia em cada processo;
(e) determinar as quantidades totais, , e para o ciclo completo .
Passo 2
Fórmulas e constantes básicas que usarei (explicadas devagar):
- Equação de estado do gás ideal (por mols
):
onde
é pressão,
volume,
temperatura absoluta,
número de mols,
constante dos gases perfeitos. Esta equação relaciona estados macroscópicos.
- Capacidades molares do gás monoatômico:
Aqui
é capacidade térmica molar a volume constante e
é a capacidade molar a pressão constante.
- Energia interna de um gás ideal (molar):
Variação
. Isto é porque para gás ideal a energia interna depende só da temperatura.
- Primeira lei (convenção:
calor absorvido pelo gás, trabalho realizado pelo gás):
Assim, se
for positivo e
(adiabático), então
é negativo (trabalho feito sobre o gás).
-
Processos importantes:
- Adiabático reversível: existe a relação
- Isobárico (pressão constante
): e . - Isocórico (volume constante):
e .
-
Entropia para processo reversível:
- Adiabático reversível:
. - Isobárico:
. - Isocórico:
. - Fórmula geral para gás ideal entre dois estados:
- Adiabático reversível:
Vou usar todas estas relações para expressar as quantidades pedidas em termos de
e
(o número de mols).
Passo 3
Geometria do diagrama
e pressões nos pontos (resposta à parte (a) e achar
):
- O ponto
está em porque foi dado. - Como
é isobárico com , o ponto está em . - O processo
é adiabático, logo entre e vale
Dessa igualdade segue a pressão em
:
Isto localiza
no diagrama:
com
dado pela expressão acima.
- O processo
é adiabático e tem mesmo volume de porque é isocórico com . Portanto, aplicando a adiabática entre e :
Mas
e
; assim
Logo
.
- Esboço/descrição do diagrama (texto que serve de construção): comece no ponto
com volume e pressão (como dado acima), siga uma curva adiabática até (compressão: volume diminui), então mova horizontalmente (isobárico) até , depois siga a adiabática de até (expandindo até o volume ), e finalmente desça verticalmente (isocórico) de até . O contorno fechado formado é o ciclo pedido.
Passo 4
Temperaturas em
(parte (b)). Usarei a equação de estado e as relações adiabáticas para escrever tudo em termos de
e
.
- Temperatura em
(direto pela equação de estado):
- Temperatura em
(isobárico com ):
- Relação adiabática
constante entre e dá:
Logo, usando
já encontrado,
Equivalente (verificação) também se obtém por
com
do passo anterior.
- Relação adiabática entre
e :
com
, portanto
- Resumindo as quatro temperaturas:
Passo 5
Processo 1:
— compressão adiabática reversível (parte (c),(d) para este processo).
- Calor trocado:
- Variação de energia interna (usar
):
- Trabalho realizado pelo gás (pela primeira lei
):
Comentários práticos: em compressão adiabática geralmente
, logo
(trabalho realizado pelo gás negativo — trabalho feito sobre o gás).
- Alternativa útil para
em termos de e (mesma resposta, apenas outra forma):
(derivação curta:
com
constante
leva a esta expressão).
- Entropia (adiabático reversível):
Passo 6
Processo 2:
— aquecimento isobárico (parte (c),(d) para este processo).
- Trabalho realizado pelo gás (isobárico):
- Calor absorvido (pela definição
):
Usando
(da equação de estado), pode-se também escrever
Observação:
para monoatômico, então
se preferir um número multiplicador (note que esta forma já incorpora o efeito do número de mols via volumes absolutos fornecidos).
- Variação da energia interna:
- Entropia (isobárico reversível):
Como
(isobárico), também vale
Passo 7
Processo 3:
— expansão adiabática reversível (parte (c),(d) para este processo).
- Calor trocado:
- Variação da energia interna:
- Trabalho realizado pelo gás (pela primeira lei):
Comentário: em expansão adiabática normalmente
, então
(trabalho positivo realizado pelo gás).
- Entropia:
Passo 8
Processo 4:
— resfriamento isocórico (volume constante) (parte (c),(d) para este processo).
- Trabalho realizado:
- Calor trocado:
Comentário: como é resfriamento, normalmente
e então
(calor liberado pelo gás).
- Variação da energia interna:
- Entropia (isocórico reversível):
Passo 9
Totais ao longo do ciclo fechado
(parte (e)):
- Energia interna (função de estado): voltando ao mesmo estado inicial,
- Entropia (função de estado): ciclo reversível que retorna ao mesmo estado tem variação nula,
- Calor total absorvido:
(lembrando
). Essa expressão está em termos das temperaturas que já foram expressas no Passo 4.
- Trabalho total realizado:
Usando a primeira lei e
, segue automaticamente
Também se pode escrever explicitamente (substituindo os
individuais):
ou de forma combinada simplificada (somando termos):
Ambas as formas são equivalentes e podem ser reescritas em termos de
usando as igualdades do Passo 4.
- Observação física simples e útil: geometricamente
é a área líquida do ciclo no diagrama (sinal positivo se o ciclo for no sentido anti-horário). Se precisar de uma expressão puramente em , substitua as das fórmulas acima pelas expressões do Passo 4.
Passo 10
Resumo prático (como usar isso na prova — dicas rápidas):
- Para desenhar o ciclo: coloque
, , calcule e pelas adiabáticas e desenhe duas curvas adiabáticas que ligam e ; ligue horizontalmente e verticalmente. - Para obter temperaturas, primeiro calcule
e ; depois use as leis adiabáticas const para achar e . - Para calor/trabalho use as fórmulas dadas em cada passo; lembre-se que em adiabático
e em isocórico . - Em ciclos fechados, sempre cheque
e então — serve como verificação de contas.
Resposta
(a) Diagrama
:
;
;
com
;
com
. Traçar adiabática entre
e
, isobara
, adiabática
, isócrona
.
(b) Temperaturas:
(c) Calor
e trabalho
em cada processo:
(d) Variação da energia interna
e entropia
por processo:
(e) Totais no ciclo: