Considere um gás monoatômico ideal. Esse gás sofre uma compressão adiabática, indo de um ponto A até o ponto B no diagrama \mathrm{P}-\mathrm{V}. Logo em seguida esse gás sofre um aquecimento isobárico, indo de B para C nesse mesmo diagrama. Esse gás então sofre uma expansão adiabática, indo de C para D e em seguida um resfriamento isocórico, indo de D e retornando ao ponto inicial A . Considere fornecido V_{A}, V_{B}, V_{C} e P_{B}.
(a) Construa o diagrama \mathrm{P}-\mathrm{V} desse gás.
(b) Determine a temperatura em \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} e D ;
(c) Determine o calor absorvido e o trabalho realizado em cada um dos quatro processos realizados.
(d) Determine a variação da energia interna e a variação da entropia em cada um dos quatro processos realizados.
(e) Qual a quantidade total de calor absorvido e de trabalho realizado ao longo de todo o processo (i.e. saindo de A retornando ao próprio A )? E a energia interna e a entropia?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (resumido e claro):
  • Dados fornecidos: V_{A},\,V_{B},\,V_{C} e P_{B}.
  • Tipo do gás: gás monoatômico ideal (portanto C_{V}=\tfrac{3}{2}R, C_{P}=\tfrac{5}{2}R, \gamma=\tfrac{C_{P}}{C_{V}}=\tfrac{5}{3}).
  • Sequência de estados/processos no diagrama P\!-\!V:
    1. A\to B: compressão adiabática reversível.
    2. B\to C: aquecimento isobárico ( P=P_{B}).
    3. C\to D: expansão adiabática reversível.
    4. D\to A: resfriamento isocórico (volume constante).
  • Perguntas:
    (a) construir o diagrama P\!-\!V (descrever posições dos pontos e curvas);
    (b) determinar as temperaturas em A,B,C,D;
    (c) determinar o calor absorvido Q e o trabalho realizado W em cada um dos quatro processos;
    (d) determinar a variação da energia interna \Delta U e a variação de entropia \Delta S em cada processo;
    (e) determinar as quantidades totais Q_{\text{total}}, W_{\text{total}}, \Delta U_{\text{total}} e \Delta S_{\text{total}} para o ciclo completo A\to\ldots\to A.

Passo 2

Fórmulas e constantes básicas que usarei (explicadas devagar):
  • Equação de estado do gás ideal (por mols n):
P V = n R T,
onde P é pressão, V volume, T temperatura absoluta, n número de mols, R constante dos gases perfeitos. Esta equação relaciona estados macroscópicos.
  • Capacidades molares do gás monoatômico:
C_{V}=\tfrac{3}{2}R,\qquad C_{P}=C_{V}+R=\tfrac{5}{2}R.
Aqui C_{V} é capacidade térmica molar a volume constante e C_{P} é a capacidade molar a pressão constante.
  • Energia interna de um gás ideal (molar):
U = n C_{V} T.
Variação \Delta U = n C_{V} (T_{2}-T_{1}). Isto é porque para gás ideal a energia interna depende só da temperatura.
  • Primeira lei (convenção: Q calor absorvido pelo gás, W trabalho realizado pelo gás):
\Delta U = Q - W.
Assim, se \Delta U for positivo e Q=0 (adiabático), então W é negativo (trabalho feito sobre o gás).
  • Processos importantes:
    • Adiabático reversível: existe a relação
    P V^{\gamma}=\text{const} \quad\text{e}\quad T V^{\gamma-1}=\text{const}.
    • Isobárico (pressão constante P): W = P\Delta V e Q = n C_{P}\Delta T.
    • Isocórico (volume constante): W=0 e Q = n C_{V}\Delta T.
  • Entropia para processo reversível:
    • Adiabático reversível: \Delta S = 0.
    • Isobárico: \Delta S = n C_{P}\ln\!\bigl(\tfrac{T_{2}}{T_{1}}\bigr).
    • Isocórico: \Delta S = n C_{V}\ln\!\bigl(\tfrac{T_{2}}{T_{1}}\bigr).
    • Fórmula geral para gás ideal entre dois estados:
    \Delta S = n C_{V}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right) + n R\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right).
Vou usar todas estas relações para expressar as quantidades pedidas em termos de V_{A},V_{B},V_{C},P_{B} e n (o número de mols).

Passo 3

Geometria do diagrama P\!-\!V e pressões nos pontos (resposta à parte (a) e achar P_{A},P_{C},P_{D}):
  • O ponto B está em (V_{B},P_{B}) porque foi dado.
  • Como B\to C é isobárico com P=P_{B}, o ponto C está em (V_{C},P_{B}).
  • O processo A\to B é adiabático, logo entre A e B vale
P_{A}V_{A}^{\gamma} = P_{B}V_{B}^{\gamma}.
Dessa igualdade segue a pressão em A:
P_{A}=P_{B}\left(\frac{V_{B}}{V_{A}}\right)^{\gamma}.
Isto localiza A no diagrama: A=(V_{A},\,P_{A}) com P_{A} dado pela expressão acima.
  • O processo C\to D é adiabático e D tem mesmo volume de A porque D\to A é isocórico com V_{D}=V_{A}. Portanto, aplicando a adiabática entre C e D:
P_{C}V_{C}^{\gamma}=P_{D}V_{D}^{\gamma}.
Mas P_{C}=P_{B} e V_{D}=V_{A}; assim
P_{D} = P_{B}\left(\frac{V_{C}}{V_{A}}\right)^{\gamma}.
Logo D=(V_{A},\,P_{D}).
  • Esboço/descrição do diagrama (texto que serve de construção): comece no ponto A com volume V_{A} e pressão P_{A} (como dado acima), siga uma curva adiabática até B=(V_{B},P_{B}) (compressão: volume diminui), então mova horizontalmente (isobárico) até C=(V_{C},P_{B}), depois siga a adiabática de C até D (expandindo até o volume V_{A}), e finalmente desça verticalmente (isocórico) de D até A. O contorno fechado formado é o ciclo pedido.

Passo 4

Temperaturas em A,B,C,D (parte (b)). Usarei a equação de estado e as relações adiabáticas para escrever tudo em termos de P_{B},V_{A},V_{B},V_{C} e n.
  • Temperatura em B (direto pela equação de estado):
T_{B}=\frac{P_{B}V_{B}}{nR}.
  • Temperatura em C (isobárico com P_{B}):
T_{C}=\frac{P_{B}V_{C}}{nR}.
  • Relação adiabática T V^{\gamma-1}= constante entre A e B dá:
T_{A} V_{A}^{\gamma-1} = T_{B} V_{B}^{\gamma-1}.
Logo, usando T_{B} já encontrado,
T_{A} = T_{B}\left(\frac{V_{B}}{V_{A}}\right)^{\gamma-1} = \frac{P_{B}V_{B}}{nR}\left(\frac{V_{B}}{V_{A}}\right)^{\gamma-1}.
Equivalente (verificação) também se obtém por T_{A}=P_{A}V_{A}/(nR) com P_{A} do passo anterior.
  • Relação adiabática entre C e D:
T_{C}V_{C}^{\gamma-1}=T_{D}V_{D}^{\gamma-1},
com V_{D}=V_{A}, portanto
T_{D}=T_{C}\left(\frac{V_{C}}{V_{A}}\right)^{\gamma-1} = \frac{P_{B}V_{C}}{nR}\left(\frac{V_{C}}{V_{A}}\right)^{\gamma-1}.
  • Resumindo as quatro temperaturas:
\begin{aligned} T_{A} &= \dfrac{P_{B}V_{B}}{nR}\left(\dfrac{V_{B}}{V_{A}}\right)^{\gamma-1},\\[6pt] T_{B} &= \dfrac{P_{B}V_{B}}{nR},\\[6pt] T_{C} &= \dfrac{P_{B}V_{C}}{nR},\\[6pt] T_{D} &= \dfrac{P_{B}V_{C}}{nR}\left(\dfrac{V_{C}}{V_{A}}\right)^{\gamma-1}. \end{aligned}]

Passo 5

Processo 1: A\to B — compressão adiabática reversível (parte (c),(d) para este processo).
  • Calor trocado:
Q_{A\to B}=0\quad(\text{adiabático reversível}).áí
  • Variação de energia interna (usar \Delta U=nC_{V}(T_{B}-T_{A})):
\Delta U_{A\to B}=n C_{V}\bigl(T_{B}-T_{A}\bigr).
  • Trabalho realizado pelo gás (pela primeira lei \Delta U=Q-W\Rightarrow W=Q-\Delta U):
W_{A\to B} = -\Delta U_{A\to B} = n C_{V}\bigl(T_{A}-T_{B}\bigr).
Comentários práticos: em compressão adiabática geralmente T_{B}>T_{A}, logo W_{A\to B}<0 (trabalho realizado pelo gás negativo — trabalho feito sobre o gás).
  • Alternativa útil para W em termos de P e V (mesma resposta, apenas outra forma):
W_{A\to B}=\frac{P_{A}V_{A}-P_{B}V_{B}}{\gamma-1}.
(derivação curta: \int PdV com P= constante V^{-\gamma} leva a esta expressão).
  • Entropia (adiabático reversível):
\Delta S_{A\to B}=0.

Passo 6

Processo 2: B\to C — aquecimento isobárico (parte (c),(d) para este processo).
  • Trabalho realizado pelo gás (isobárico):
W_{B\to C}=P_{B}\,\bigl(V_{C}-V_{B}\bigr).
  • Calor absorvido (pela definição Q=nC_{P}\Delta T):
Q_{B\to C}=n C_{P}\bigl(T_{C}-T_{B}\bigr).
Usando T_{C}-T_{B}=\dfrac{P_{B}(V_{C}-V_{B})}{nR} (da equação de estado), pode-se também escrever
Q_{B\to C} = \frac{C_{P}}{R}\,P_{B}\bigl(V_{C}-V_{B}\bigr).
Observação: C_{P}/R=\tfrac{5}{2} para monoatômico, então Q_{B\to C}=\tfrac{5}{2}P_{B}(V_{C}-V_{B}) se preferir um número multiplicador (note que esta forma já incorpora o efeito do número de mols via volumes absolutos fornecidos).
  • Variação da energia interna:
\Delta U_{B\to C}=n C_{V}\bigl(T_{C}-T_{B}\bigr).
  • Entropia (isobárico reversível):
\Delta S_{B\to C}=n C_{P}\ln\!\left(\frac{T_{C}}{T_{B}}\right).
Como T_{C}/T_{B}=V_{C}/V_{B} (isobárico), também vale
\Delta S_{B\to C}=n C_{P}\ln\!\left(\frac{V_{C}}{V_{B}}\right).

Passo 7

Processo 3: C\to D — expansão adiabática reversível (parte (c),(d) para este processo).
  • Calor trocado:
Q_{C\to D}=0.
  • Variação da energia interna:
\Delta U_{C\to D}=n C_{V}\bigl(T_{D}-T_{C}\bigr).
  • Trabalho realizado pelo gás (pela primeira lei):
W_{C\to D} = -\Delta U_{C\to D} = n C_{V}\bigl(T_{C}-T_{D}\bigr).
Comentário: em expansão adiabática normalmente T_{D}<T_{C}, então W_{C\to D}>0 (trabalho positivo realizado pelo gás).
  • Entropia:
\Delta S_{C\to D}=0.

Passo 8

Processo 4: D\to A — resfriamento isocórico (volume constante) (parte (c),(d) para este processo).
  • Trabalho realizado:
W_{D\to A}=0\quad(\text{isocórico}).ó
  • Calor trocado:
Q_{D\to A}=n C_{V}\bigl(T_{A}-T_{D}\bigr).
Comentário: como é resfriamento, normalmente T_{A}<T_{D} e então Q_{D\to A}<0 (calor liberado pelo gás).
  • Variação da energia interna:
\Delta U_{D\to A}=n C_{V}\bigl(T_{A}-T_{D}\bigr).
  • Entropia (isocórico reversível):
\Delta S_{D\to A}=n C_{V}\ln\!\left(\frac{T_{A}}{T_{D}}\right).

Passo 9

Totais ao longo do ciclo fechado A\to B\to C\to D\to A (parte (e)):
  • Energia interna (função de estado): voltando ao mesmo estado inicial,
\Delta U_{\text{total}}=0.
  • Entropia (função de estado): ciclo reversível que retorna ao mesmo estado tem variação nula,
\Delta S_{\text{total}}=0.
  • Calor total absorvido:
Q_{\text{total}} = Q_{A\to B}+Q_{B\to C}+Q_{C\to D}+Q_{D\to A} = n C_{P}\bigl(T_{C}-T_{B}\bigr) + n C_{V}\bigl(T_{A}-T_{D}\bigr).
(lembrando Q_{A\to B}=Q_{C\to D}=0). Essa expressão está em termos das temperaturas que já foram expressas no Passo 4.
  • Trabalho total realizado:
W_{\text{total}} = W_{A\to B}+W_{B\to C}+W_{C\to D}+W_{D\to A}.
Usando a primeira lei e \Delta U_{\text{total}}=0, segue automaticamente
W_{\text{total}} = Q_{\text{total}}.
Também se pode escrever explicitamente (substituindo os W individuais):
W_{\text{total}} = nC_{V}(T_{A}-T_{B}) + P_{B}(V_{C}-V_{B}) + nC_{V}(T_{C}-T_{D}),
ou de forma combinada simplificada (somando termos):
W_{\text{total}} = P_{B}(V_{C}-V_{B}) + nC_{V}\bigl(T_{A}-T_{B}+T_{C}-T_{D}\bigr).
Ambas as formas são equivalentes e podem ser reescritas em termos de P_{B},V_{A},V_{B},V_{C} usando as igualdades do Passo 4.
  • Observação física simples e útil: geometricamente W_{\text{total}} é a área líquida do ciclo no diagrama P\!-\!V (sinal positivo se o ciclo for no sentido anti-horário). Se precisar de uma expressão puramente em P_{B},V_{A},V_{B},V_{C}, substitua as T das fórmulas acima pelas expressões do Passo 4.

Passo 10

Resumo prático (como usar isso na prova — dicas rápidas):
  • Para desenhar o ciclo: coloque B=(V_{B},P_{B}), C=(V_{C},P_{B}), calcule P_{A} e P_{D} pelas adiabáticas e desenhe duas curvas adiabáticas que ligam A\leftrightarrow B e C\leftrightarrow D; ligue B\to C horizontalmente e D\to A verticalmente.
  • Para obter temperaturas, primeiro calcule T_{B}=\dfrac{P_{B}V_{B}}{nR} e T_{C}=\dfrac{P_{B}V_{C}}{nR}; depois use as leis adiabáticas T V^{\gamma-1}= const para achar T_{A} e T_{D}.
  • Para calor/trabalho use as fórmulas dadas em cada passo; lembre-se que em adiabático Q=0 e em isocórico W=0.
  • Em ciclos fechados, sempre cheque \Delta U_{\text{total}}=0 e então Q_{\text{total}}=W_{\text{total}} — serve como verificação de contas.

Resposta

(a) Diagrama P\!-\!V: B=(V_{B},P_{B}); C=(V_{C},P_{B}); A=(V_{A},P_{A}) com \displaystyle P_{A}=P_{B}\left(\dfrac{V_{B}}{V_{A}}\right)^{\gamma}; D=(V_{A},P_{D}) com \displaystyle P_{D}=P_{B}\left(\dfrac{V_{C}}{V_{A}}\right)^{\gamma}. Traçar adiabática entre A e B, isobara B\to C, adiabática C\to D, isócrona D\to A.
(b) Temperaturas:
\begin{aligned} T_{B} &= \dfrac{P_{B}V_{B}}{nR},\\[6pt] T_{C} &= \dfrac{P_{B}V_{C}}{nR},\\[6pt] T_{A} &= \dfrac{P_{B}V_{B}}{nR}\left(\dfrac{V_{B}}{V_{A}}\right)^{\gamma-1},\\[6pt] T_{D} &= \dfrac{P_{B}V_{C}}{nR}\left(\dfrac{V_{C}}{V_{A}}\right)^{\gamma-1}. \end{aligned}
(c) Calor Q e trabalho W em cada processo:
\begin{aligned} A\to B:\\ &Q_{A\to B}=0,\\\ & W_{A\to B}=nC_{V}(T_{A}-T_{B})=\frac{P_{A}V_{A}-P_{B}V_{B}}{\gamma-1}. \end{aligned}
\begin{aligned} B\to C:\\ &W_{B\to C}=P_{B}(V_{C}-V_{B}),\\\ &Q_{B\to C}=nC_{P}(T_{C}-T_{B})=\frac{C_{P}}{R}\,P_{B}(V_{C}-V_{B}). \end{aligned}
\begin{aligned} C\to D:\\ &Q_{C\to D}=0,\\\ & W_{C\to D}=nC_{V}(T_{C}-T_{D}). \end{aligned}
\begin{aligned} D\to A:\\ &W_{D\to A}=0,\\\ &Q_{D\to A}=nC_{V}(T_{A}-T_{D}). \end{aligned}
(d) Variação da energia interna \Delta U e entropia \Delta S por processo:
\begin{aligned} A\to B:\\ &\Delta U_{A\to B}=nC_{V}(T_{B}-T_{A}),\quad \Delta S_{A\to B}=0.\\[4pt] B\to C:\\ &\Delta U_{B\to C}=nC_{V}(T_{C}-T_{B}),\quad \Delta S_{B\to C}=nC_{P}\ln\!\left(\frac{T_{C}}{T_{B}}\right)=nC_{P}\ln\!\left(\frac{V_{C}}{V_{B}}\right).\\[4pt] C\to D:\\ &\Delta U_{C\to D}=nC_{V}(T_{D}-T_{C}),\quad \Delta S_{C\to D}=0.\\[4pt] D\to A:\\ &\Delta U_{D\to A}=nC_{V}(T_{A}-T_{D}),\quad \Delta S_{D\to A}=nC_{V}\ln\!\left(\frac{T_{A}}{T_{D}}\right). \end{aligned}
(e) Totais no ciclo:
\Delta U_{\text{total}}=0,\qquad \Delta S_{\text{total}}=0,
Q_{\text{total}}=nC_{P}(T_{C}-T_{B}) + nC_{V}(T_{A}-T_{D}),
W_{\text{total}}=Q_{\text{total}}\quad(\text{porque }\Delta U_{\text{total}}=0).]

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