Uma roda com um raio de 94cm rola, sem escorregar, em um piso horizontal. No instante t1, o ponto P pintado na borda da roda está no ponto de contato entre a roda e o piso. Em um instante posterior t2, a roda descreveu meia revolução. Determine o ângulo formado entre o vetor deslocamento d^ e o ponto P em relação ao piso.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma roda com raio de 94 cm que está rolando sem escorregar em um piso horizontal. No instante inicial $ t_1 $, um ponto $ P $ na borda da roda está tocando o chão. Depois, no instante $ t_2 $, a roda girou meia volta e queremos descobrir o ângulo entre o vetor deslocamento $ \vec{d} $ e o ponto $ P $ em relação ao piso.
Matéria envolvida: Cinemática do movimento circular, especialmente o movimento de rotação sem deslizamento.
O que vamos precisar:
  • Entender a relação entre deslocamento linear e angular.
  • Usar fórmulas de cinemática para movimentos circulares.
  • Aplicar trigonometria para encontrar o ângulo desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, quando uma roda rola sem escorregar, o deslocamento linear $ s $ da roda está diretamente relacionado ao deslocamento angular $ \theta $ (em radianos) pela fórmula:
s
onde:
  • $ s $ é o deslocamento linear,
  • $ r $ é o raio da roda,
  • $ \theta $ é o deslocamento angular.

Passo 3

Sabemos que a roda descreveu meia revolução entre $ t_1 $ e $ t_2 $. Uma revolução completa é $ 2\pi $ radianos, então meia revolução é:
t1

Passo 4

Agora, vamos calcular o deslocamento linear $ s $ usando a fórmula que mencionamos:
s
Então, a roda se deslocou aproximadamente 295,31 cm horizontalmente.

Passo 5

No instante $ t_1 $, o ponto $ P $ está no ponto de contato com o piso. Após meia revolução ($ t_2 $), o ponto $ P $ estará na posição oposta, ou seja, no topo da roda.
Isso significa que a posição vertical de $ P $ em relação ao piso agora é $ 2r $ (o diâmetro da roda), que é:
t1

Passo 6

Agora, para encontrar o ângulo entre o vetor deslocamento $ \vec{d} $ e o ponto $ P $ em relação ao piso, vamos visualizar o deslocamento de $ P $.
O vetor deslocamento $ \vec{d} $ é o deslocamento linear da roda, que é horizontal e de 295,31 cm. A posição atual de $ P $ está 188 cm acima do piso.
Podemos formar um triângulo retângulo onde:
  • O cateto horizontal é $ s = 295,31 cm $,
  • O cateto vertical é $ 2r = 188 cm $,
  • A hipotenusa é o vetor deslocamento resultante desde $ t_1 $ até $ t_2 $.

Passo 7

Para encontrar o ângulo $ \alpha $ entre o vetor deslocamento $ \vec{d} $ (horizontal) e a hipotenusa, usamos a função tangente:
alpha
Substituindo os valores:
d

Passo 8

Agora, vamos encontrar o ângulo $ \alpha $ tirando a tangente inversa:
alpha

Resposta

O ângulo formado entre o vetor deslocamento $ \vec{d} $ e o ponto $ P $ em relação ao piso é aproximadamente 32,5 graus.

Exercícios relacionados