Uma roda realiza 90 revoluções em 15 s , sendo sua velocidade angular ao fim desse intervalo igual a 10 rev / s. Quanto tempo se passou entre o instante em que a roda se encontrava em repouso e o início do intervalo de 15 s ?

Passo 1

Então, o problema diz que uma roda parte do repouso, acelera com aceleração angular constante e, num certo instante (chama de t₁), começa um intervalo de 15 s. Nesse intervalo de 15 s ela faz 90 revoluções e, ao final, sua velocidade angular é de 10 rev/s. A pergunta é: quanto tempo t₁ se passou desde o repouso até o início desses 15 s?
Conteúdo: cinemática angular com aceleração constante.
Vamos precisar das fórmulas:
  1. ω = ω₀ + α t
  2. θ = ω₀ t + ½ α t²
    Aqui ω₀ = 0 (parte do repouso), α = aceleração angular constante, θ é o número de revoluções no intervalo de 15 s, e as unidades são todas em revoluções e segundos.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a velocidade angular final (10 rev/s) em função de α e do tempo total de aceleração (t₁ + 15):
omegarm fim = omega0 + alpha (t1 + 15) ;Rightarrow; 10 = 0 + alpha,(t1 + 15);Rightarrow;alpha = 10t1 + 15

Passo 3

Agora usamos a fórmula do deslocamento angular (em revoluções) durante os 15 s, que é
theta = omega1,De
onde ω₁ é a velocidade no início dos 15 s, ou seja ω₁ = α t₁, e Δt = 15. Como θ = 90 rev, temos:
90 = (alpha,t1),15 + tfrac12,alpha,(15)^2

Passo 4

Substituindo α = 10/(t₁+15) na equação acima:
90 = 10t1+15,15,t1 ;+;tfrac12,10t1+15,225
Simplificando:
$$90 = \frac{10,(15,t_1 + 112{,}5)}{t_1 + 15}
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{15,t_1 + 112{,}5}{t_1 + 15} = 9 90 = 10,(15,t1 + 112,5)t1 + 15 Longrightarrow 15,t1 + 112,5t1 + 15 = 915,t_1 + 112{,}5 = 9,t_1 + 135
\quad\Longrightarrow\quad
6,t_1 = 22{,}5
\quad\Longrightarrow\quad
t_1 = 3{,}75\ {\rm s}.$$

Resposta

3,75 s

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