Suponha que a equação horária do exercício 1 descreva a posição angular da linha de referência de um disco de raio R, girando em torno de seu eixo de simetria. Determine as componentes do vetor velocidade v(t) de um ponto situado na borda desse disco.

Passo 1

Então, o que o enunciado diz: a “equação horária do exercício 1” é a função que indica o ângulo de um ponto na borda de um disco de raio girando no tempo. A tarefa é achar as componentes da velocidade desse ponto.
Conteúdo: Cinemática plana em coordenadas polares (ou parametrização de um movimento circular).
O que vamos precisar:
  1. Expressar a posição do ponto em coordenadas cartesianas como função de .
  2. Usar derivada (regra da cadeia) para obter a velocidade.

Passo 2

Primeiro, lembra que num movimento circular de raio x(t) = Rcosl(theta(t)r), y(t) = Rsinl(theta(t)r) , se o ângulo que o raio que vai ao ponto faz com o eixo é , a posição em coordenadas cartesianas é
Isso vem de projetar o raio nos eixos e .

Passo 3

Agora, para achar a velocidade vx(t) = dot x(t) = ddtl[Rcos(theta(t))r] = -R,sin(theta(t));dottheta(t), , a ideia é derivar cada componente em relação a vy(t) = dot y(t) = ddtl[Rsin(theta(t))r] = R,cos(theta(t));dottheta(t) . Vamos usar a regra da cadeia:
Aqui é a velocidade angular. A “regra da cadeia” diz que a derivada de é , e a de é .

Passo 4

Então, juntando as duas componentes, o vetor velocidade fica:
vec v(t) = vx(t),hatimath + vy(t),hatjmath = l[-R,dottheta(t),sin(theta(t))r]hatimath + l[R,dottheta(t),cos(theta(t))r]hatjmath

Resposta

boxed vec v(t) = -R,dottheta(t),sinl(theta(t)r),hatimath ;+; R,dottheta(t),cosl(theta(t)r),hatjmath
Ou, em componentes isoladas:
vx(t) = -R,dottheta(t),sin!l(theta(t)r), vy(t) = R,dottheta(t),cos!l(theta(t)r)

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