Um volante gira com aceleração angular alpha(t)=4 a t^3-3 b t^2, onde t representa o tempo e a, b são constantes. Se, em t=0, o volante possui velocidade angular inicial omega0 e sua linha de referência corresponde a theta0=0, escreva as equações para seu deslocamento angular em função do tempo.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que um volante tem aceleração angular
alpha(t) = 4,a,t^3 ;-; 3,b,t^2
com e constantes. Em a velocidade angular é e o ângulo inicial é .
Conteúdo: cinemática rotacional—vamos precisar de integrais para passar de a e depois a .

Passo 2

Primeiro, lembrando que
alpha(t) = domegadt,
pra achar omega(t) = integral l(4a,t^3 - 3b,t^2r),dt + C1 basta integrar omega(t) = a,t^4 ;-; b,t^3 + C1 . Então:
omega(0) = acdot0^4 - bcdot0^3 + C1 = C1 = omega0
Calculemos a integral termo a termo:
  • boxedomega(t) = a,t^4 ;-; b,t^3 ;+;omega0 .
  • .
    Logo
Agora usamos a condição inicial :
Portanto

Passo 3

Agora sabemos que
omega(t) = dthetadt,
logo pra achar theta(t) = integral l(a,t^4 - b,t^3 + omega0r),dt + C2 integramos theta(t) = a5,t^5 ;-; b4,t^4 ;+; omega0,t + C2 :
theta(0) = 0 = a5,0^5 - b4,0^4 + omega0cdot 0 + C2 ;Rightarrow; C2 = 0
Integral a integral:
  • .
  • .
  • .
    Então
Usamos :

Resposta

As funções finais são
boxedomega(t) = a,t^4 ;-; b,t^3 + omega0, boxedtheta(t) = a5,t^5 ;-; b4,t^4 + omega0,t

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