Uma roda tem massa de 15,0 \mathrm{~kg} e raio de 30,0 \mathrm{~cm}. O momento de inércia da roda é 0,170 \mathrm{~kg} . \mathrm{m}^{2} e ela rola sem deslizar, com velocidade linear de 10,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule a energia cinética total da roda em relação ao chão.
Escolha uma opção:
\mathrm{K}=844 \mathrm{~J}
\mathrm{K}=94,4 \mathrm{~J}
\mathrm{K}=548 \mathrm{~J}
\mathrm{K}=106 \mathrm{~J}
\mathrm{K}=750 \mathrm{~J}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a energia cinética total da roda em relação ao chão.
  • Massa da roda: M=15,0\\ \mathrm{kg}.
  • Raio da roda: R=30,0\\ \mathrm{cm}=0,30\\ \mathrm{m}.
  • Momento de inércia em relação ao eixo central: I=0,170\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
  • Velocidade linear do centro de massa (velocidade de rolamento): v=10,0\\ \mathrm{m/s}.
  • Condição: rola sem deslizar (rolamento sem deslizamento).
O que se pede:
  • Calcular a energia cinética total K da roda em relação ao chão (soma da energia cinética de translação do centro de massa e da energia cinética de rotação em torno do centro).

Passo 2

Fórmulas e explicação dos termos (mini-aula rápida e clara).
  • Energia cinética de translação do corpo inteiro (movimento do centro de massa):
K_{\text{trans}}=\frac{1}{2} M v^{2},
onde M é a massa e v é a velocidade do centro de massa.
  • Energia cinética de rotação em torno do centro de massa:
K_{\text{rot}}=\frac{1}{2} I \omega^{2},
onde I é o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro e \omega é a velocidade angular.
  • Para rolamento sem deslizamento vale a relação entre velocidade linear e velocidade angular:
v=\omega R \quad\Longrightarrow\quad \omega=\frac{v}{R},
onde R é o raio. Essa relação significa que o ponto de contato instantaneamente tem velocidade zero em relação ao chão.
  • A energia cinética total é a soma:
K=K_{\text{trans}}+K_{\text{rot}}.

Passo 3

Calcular a energia cinética de translação substituindo os valores (explicando cada passo numérico):
K_{\text{trans}}=\frac{1}{2}M v^{2} =\frac{1}{2}\cdot 15,0\cdot (10,0)^{2}.
Calculemos:
(10,0)^{2}=100, \qquad \frac{1}{2}\cdot 15,0=7,5,
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K_{\text{trans}}=7,5\cdot 100=750\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular a velocidade angular usando rolamento sem deslizamento e depois a energia de rotação (passo a passo):
Primeiro \omega:
\omega=\frac{v}{R}=\frac{10,0}{0,30}=33,3\overline{3}\\ \mathrm{rad/s}.
Agora \omega^{2}:
\omega^{2}=(33,3\overline{3})^{2}=1111,1\overline{1}\\ (\text{aproximadamente }1111{,}11).
Energia de rotação:
K_{\text{rot}}=\frac{1}{2}I\omega^{2}=\frac{1}{2}\cdot 0,170\cdot 1111,1\overline{1}.
Calcule passo a passo:
\frac{1}{2}\cdot 0,170=0,085,
K_{\text{rot}}=0,085\cdot 1111,1\overline{1}\approx 94,444\ldots\\ \mathrm{J}.
Arredondando com três algarismos significativos: K_{\text{rot}}\approx 94,4\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Somar as duas contribuições para obter a energia cinética total:
K=K_{\text{trans}}+K_{\text{rot}}=750+94,444\ldots\approx 844,444\ldots\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma compatível com os dados (3 algarismos significativos): K\approx 844\\ \mathrm{J}.
Um jeito rápido de checar mentalmente: a energia translacional domina aqui ( 750\\ \mathrm{J}) e a rotação dá um acréscimo moderado ( \sim94{,}4\\ \mathrm{J}), resultando em torno de 844\\ \mathrm{J} — faz sentido físico.

Resposta

\mathrm{K}=844\\ \mathrm{J}

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