Tiras de batata (
) estão sendo secas em um leito fluidizado, bem agitado, com ar a
e
de umidade relativa. A umidade inicial da batata é de
e queremos uma umidade média final de 10%. Qual o tempo de secagem necessário? Qual a umidade no eixo central da tira, neste instante? Dados: difusividade da água na batata
. Dica: Neste caso encontramos TM bidimensional.
Passo 1
Então, vamos lá! Você tem tiras de batata que medem
cm sendo secas num ambiente com ar a
e
de umidade relativa. A batata começa com
de umidade e queremos que ela chegue a
. Precisamos descobrir quanto tempo vai levar para secar e qual será a umidade no centro da tira nesse tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de difusão de umidade e a equação de Fick para movimentos bidimensionais. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a umidade se move dentro da batata durante a secagem. Isso é feito pela difusão, que é basicamente o movimento das moléculas de água de áreas de alta concentração para áreas de baixa concentração. A taxa com que isso acontece é descrita pela difusividade da água na batata, que aqui é
.
Passo 3
Vamos aplicar a equação de difusão de Fick para um caso bidimensional. A equação geral de Fick para duas dimensões é:
Aqui,
é a concentração de umidade,
é o tempo, e
e
são as direções dentro da tira de batata.
Passo 4
Como a tira de batata tem dimensões de
cm, vamos considerar a coordenada
(7 cm) como a direção do espessamento e
e
como as direções laterais de
cm. Para simplificar, assumimos que a secagem acontece principalmente na direção do espessamento.
Passo 5
Para resolver a equação de Fick, usamos uma solução aproximada para casos bidimensionais. A solução para a umidade no centro da tira após um tempo
é dada por:
Onde:
-
(umidade inicial) -
(umidade final desejada) -
cm (metade da dimensão lateral, já que consideramos semi-espaço) -
Passo 6
Para encontrar o tempo
necessário para que a umidade média seja de
, rearranjamos a equação acima. Vamos resolver numericamente, considerando apenas os primeiros termos da série para simplificar.
Simplificando:
Passo 7
Isolando o termo exponencial:
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Resolvendo para
:
Passo 8
Calculando os valores numéricos:
Convertendo para minutos:
Resposta
O tempo de secagem necessário é de aproximadamente 111 minutos, e a umidade no eixo central da tira nesse instante é de 10%.