Tiras de batata ( 0,7 times 0,7 times 7 cm ) estão sendo secas em um leito fluidizado, bem agitado, com ar a 60^circ C e 20 % de umidade relativa. A umidade inicial da batata é de 80 % e queremos uma umidade média final de 10%. Qual o tempo de secagem necessário? Qual a umidade no eixo central da tira, neste instante? Dados: difusividade da água na batata =0,75.10^5 cm^2 / s. Dica: Neste caso encontramos TM bidimensional.

Passo 1

Então, vamos lá! Você tem tiras de batata que medem 0,7 times 0,7 times 7 cm sendo secas num ambiente com ar a 60^circ C e 20% de umidade relativa. A batata começa com 80% de umidade e queremos que ela chegue a 10%. Precisamos descobrir quanto tempo vai levar para secar e qual será a umidade no centro da tira nesse tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de difusão de umidade e a equação de Fick para movimentos bidimensionais. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a umidade se move dentro da batata durante a secagem. Isso é feito pela difusão, que é basicamente o movimento das moléculas de água de áreas de alta concentração para áreas de baixa concentração. A taxa com que isso acontece é descrita pela difusividade da água na batata, que aqui é D = 0,75 times 10^-5 , cm^2/s.

Passo 3

Vamos aplicar a equação de difusão de Fick para um caso bidimensional. A equação geral de Fick para duas dimensões é:
partial Cpartial t = D ( partial^2 Cpartial x^2 + partial^2 Cpartial y^2 )
Aqui, C é a concentração de umidade, t é o tempo, e x e y são as direções dentro da tira de batata.

Passo 4

Como a tira de batata tem dimensões de 0,7 times 0,7 times 7 cm, vamos considerar a coordenada z (7 cm) como a direção do espessamento e x e y como as direções laterais de 0,7 cm. Para simplificar, assumimos que a secagem acontece principalmente na direção do espessamento.

Passo 5

Para resolver a equação de Fick, usamos uma solução aproximada para casos bidimensionais. A solução para a umidade no centro da tira após um tempo t é dada por:
C(0,0,t) = Cinfty + (C0 - Cinfty) [ 1 - 4pi sumn=1^infty 1(2n-1) exp( -(2n-1)^2 pi^2 D t4 L^2 ) ]
Onde:
  • C0 = 80% (umidade inicial)
  • Cinfty = 10% (umidade final desejada)
  • L = 0,35 cm (metade da dimensão lateral, já que consideramos semi-espaço)
  • D = 0,75 times 10^-5 , cm^2/s

Passo 6

Para encontrar o tempo t necessário para que a umidade média seja de 10%, rearranjamos a equação acima. Vamos resolver numericamente, considerando apenas os primeiros termos da série para simplificar.
10 = 10 + (80 - 10) [ 1 - 4pi ( 11 e^-1^2 pi^2 (0,75 times 10^-5) t4 (0,35)^2 ) ]
Simplificando:
0 = 70 [ 1 - 4pi e^-pi^2 times 0,75 times 10^-5 t4 times 0,1225 ]

Passo 7

Isolando o termo exponencial:
4pi e^-pi^2 times 0,75 times 10^-5 t4 times 0,1225 = 1
e^-pi^2 times 0,75 times 10^-5 t4 times 0,1225 = pi4
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
-pi^2 times 0,75 times 10^-5 t4 times 0,1225 = ln( pi4 )
Resolvendo para t:
t = -4 times 0,1225pi^2 times 0,75 times 10^-5 ln( pi4 )

Passo 8

Calculando os valores numéricos:
t = -0,492,356 times 0,75 times 10^-5 ln(0,785)
t approx -0,491,767 times 10^-5 times (-0,241)
t approx 0,49 times 0,2411,767 times 10^-5
t approx 0,118091,767 times 10^-5
t approx 6681 , segundos
Convertendo para minutos:
t approx 668160 approx 111,35 , minutos

Resposta

O tempo de secagem necessário é de aproximadamente 111 minutos, e a umidade no eixo central da tira nesse instante é de 10%.

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