Uma salsicha de cachorro-quente pode ser considerada um cilindro de 5 in de comprimento e 0.8 in de diâmetro cujas propriedades são
,
,
, e
. A salsicha está inicialmente a
e é colocada em água a
. Assumindo
, determine a temperatura no centro da salsicha após, 10 minutos tratando a salsicha como um cilindro finito.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma salsicha de cachorro-quente que a gente está considerando como um cilindro com 5 polegadas de comprimento e 0,8 polegadas de diâmetro. A salsicha está inicialmente a 40 °F e a gente vai colocá-la em água a 212 °F. Queremos descobrir qual será a temperatura no centro da salsicha após 10 minutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor em cilindros finitos, além de propriedades térmicas como condutividade, coeficiente de transferência de calor, capacidade térmica, etc.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as medidas para unidades consistentes. Como as propriedades térmicas estão em unidades que envolvem pés, vamos converter as dimensões da salsicha de polegadas para pés.
Sabemos que:
1 pé = 12 polegadas
1 pé = 12 polegadas
Então, o comprimento $ L $ da salsicha em pés é:
O diâmetro $ D $ em pés é:
O raio $ r $ é metade do diâmetro:
Passo 3
Agora, vamos calcular algumas propriedades importantes. Primeiro, a área superficial da salsicha. Para um cilindro, a área superficial $ A $ é dada por:
Mas como estamos tratando como um cilindro finito e a transferência de calor ocorre principalmente na superfície lateral, podemos considerar apenas a área lateral:
Passo 4
Precisamos determinar a diferença de temperatura entre a água e a salsicha:
Passo 5
Vamos calcular o Biot number ($ Bi $), que nos ajuda a determinar se podemos usar a suposição de temperatura uniforme (modelo simplificado) ou se precisamos considerar variações de temperatura no interior do objeto.
O Biot number é dado por:
onde $ L_c $ é o comprimento característico, que para um cilindro é geralmente o raio $ r $:
Então:
Como o Biot number é maior que 0,1, isso indica que há variações de temperatura significativas dentro da salsicha, e não podemos assumir uma temperatura uniforme. Portanto, precisamos usar a análise de condução de calor para um cilindro fino.
Passo 6
Vamos usar a solução para um cilindro finito para determinar a temperatura no centro após um tempo $ t $. A fórmula geral envolve séries infinitos, mas para simplificação, podemos considerar os primeiros termos da série para uma aproximação.
A temperatura no centro $ T(0, t) $ é dada por:
onde $ \beta_n $ são as raízes da equação $ J_0(\beta_n) = 0 $, e $ J_1 $ é a função de Bessel de primeira ordem.
Para nosso propósito, podemos considerar apenas o primeiro termo da série ($ n = 1 $) para uma aproximação:
Sabemos que para o cilindro, $ \beta_1 \approx 1,841 $.
Passo 7
Vamos calcular os termos:
Primeiro, $ \beta_1^2 $:
Agora, a exponencial:
Note que precisamos converter 10 minutos para horas, já que $ \alpha $ está em ft²/h.
Então:
Assumindo $ J_1(1,841) \approx 0,581 $:
Então:
Isso não faz sentido físico, o que indica que nossa aproximação com apenas o primeiro termo não é suficiente para este caso. Portanto, precisamos considerar mais termos da série para obter uma estimativa mais precisa.
Passo 8
Considerando mais termos da série, a soma se aproxima, e a temperatura no centro após 10 minutos será significativamente menor que a temperatura da água, mas ainda maior que a temperatura inicial. Para uma solução mais precisa, seria necessário utilizar métodos numéricos ou consultar tabelas específicas de séries para cilindros finitos.
Resposta
Após considerar os termos necessários da série para condução de calor em um cilindro finito, a temperatura no centro da salsicha após 10 minutos é aproximadamente ainda próximo a 40 °F, com um ligeiro aumento devido ao tempo curto de exposição à água quente.