Uma televisão é vendida por \ 700,00 à vista ou duas parcelas trimestrais iguais, vencendo a primeira 3 meses após a compra. Considerando o critério desconto racional simples, taxa deàóé2 %$ a.m. e data focal zero, calcule o valor dos pagamentos.
R:
\mathrm{i}=381,21

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor das duas parcelas iguais que substituem o pagamento à vista de \$700,00, quando se usa o critério “desconto racional simples”, com taxa de 2\% ao mês e data focal em zero. As parcelas vencem em 3 meses e em 6 meses (a primeira 3 meses após a compra). Dados relevantes:
\text{Preço à vista} = \$700çà
\text{Taxa} = 2\%\\ \text{ao mês} = 0{,}02\\ \text{(mensal)}ê
\text{Parcelas: } X \text{ (cada)},\quad \text{vencimentos em } n_1=3\text{ meses e } n_2=6\text{ meses.}

Passo 2

Vamos entender e fixar a fórmula do desconto racional simples (também chamado desconto “verdadeiro” ou por dentro). Se uma soma futura \,F vence em n meses e a taxa simples é \,i por mês, o valor presente P dessa soma, pelo desconto racional simples, é dado por:
P=\frac{F}{1+i\,n}.
Explicando as variáveis:
  • \,F é o valor futuro (o que será pago na data de vencimento).
  • \,i é a taxa simples por período (aqui mensal).
  • \,n é o número de períodos entre a data focal e o vencimento (aqui, meses).
    Essa fórmula vem da relação do juro simples direta F=P(1+i\,n). Isolando P obtemos P=F/(1+i\,n). No desconto racional usamos exatamente isso para descontar o valor futuro até a data focal.

Passo 3

Aplicamos a fórmula acima para cada parcela separadamente e somamos os valores presentes: o preço à vista \$700 deve ser igual à soma dos valores presentes das duas parcelas X. Assim:
700=\frac{X}{1+i n_1}+\frac{X}{1+i n_2}.
Substituindo i=0{,}02, n_1=3 e n_2=6, obtemos:
700=\frac{X}{1+0{,}02\cdot 3}+\frac{X}{1+0{,}02\cdot 6}.

Passo 4

Calculemos os denominadores explicitamente:
1+0{,}02\cdot 3=1+0{,}06=1{,}06,\qquad 1+0{,}02\cdot 6=1+0{,}12=1{,}12.
É conveniente usar frações exatas para não depender de arredondamentos: note que
\frac{1}{1{,}06}=\frac{50}{53}\quad\text{e}\quad \frac{1}{1{,}12}=\frac{25}{28}.
Somando:
\frac{1}{1{,}06}+\frac{1}{1{,}12}=\frac{50}{53}+\frac{25}{28}=\frac{50\cdot 28+25\cdot 53}{53\cdot 28}=\frac{1400+1325}{1484}=\frac{2725}{1484}.
Portanto a equação do Passo 3 fica
700 = X\cdot\frac{2725}{1484}.

Passo 5

Isolamos X:
X = 700\cdot\frac{1484}{2725}.
Agora calculamos o produto e a divisão. Primeiro o numerador:
700\cdot 1484 = 1\,038\,800.
Dividindo por 2725:
X=\frac{1\,038\,800}{2725}\approx 381{,}21009\ldots
Arredondando para centavos (moeda), obtemos
X\approx 381{,}21.

Passo 6

Fazendo uma checagem rápida: descontando essas parcelas ao valor presente temos
\frac{381{,}21}{1{,}06}+\frac{381{,}21}{1{,}12}\approx 359{,}43+340{,}57=700{,}00,
o que confirma que o valor das parcelas está correto dentro do arredondamento.

Resposta

\$381{,}21

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