Rotacione a parábola
(x+9)^2=-40(y-4)
em torno do ponto C=(0,0) por um ângulo de 87^circ no sentido horário. A equação da nova parábola deve ser apresentada na forma
a x^2+b x y+c y^2+d x+e y+f=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para rotacionarmos a parábola em torno do ponto por um ângulo de no sentido horário. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de Geometria Analítica, especificamente sobre rotação de coordenadas e transformação de equações das curvas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da parábola que temos:
(x + 9)^2 = -40(y - 4)
Essa é a forma padrão de uma parábola que abre para baixo, deslocada 9 unidades para a esquerda e 4 unidades para cima em relação à origem.

Passo 3

Agora, queremos rotacionar essa parábola em torno da origem x' = x cos theta + y sin theta por um ângulo de y' = -x sin theta + y cos theta no sentido horário. Para fazer isso, usamos a transformação das coordenadas de rotação. A fórmula geral para rotacionar um ponto em torno da origem por um ângulo no sentido horário é:
Como o ângulo é no sentido horário, usamos .

Passo 4

Vamos substituir x' = x cos 87^circ + y sin 87^circ nas fórmulas de rotação:
y' = -x sin 87^circ + y cos 87^circ
cos 87^circ approx 0.052336
Calculando os valores de sin 87^circ approx 0.998630 e x' = 0.052336x + 0.998630y :
y' = -0.998630x + 0.052336y
Então, as equações ficam:

Passo 5

Agora, queremos expressar a equação original da parábola em termos de x = 0.052336x' - 0.998630y' e y = 0.998630x' + 0.052336y' . Vamos substituir (0.052336x' - 0.998630y' + 9)^2 = -40(0.998630x' + 0.052336y' - 4) e pelas expressões em termos de e :
Substituindo na equação da parábola:

Passo 6

Vamos expandir os termos:
Primeiro, o lado esquerdo:
(0.052336x' - 0.998630y' + 9)^2 = (0.052336x')^2 + (-0.998630y')^2 + 9^2 + 2(0.052336x')(-0.998630y') + 2(0.052336x')(9) + 2(-0.998630y')(9)
Calculando cada termo:
= 0.002741x'^2 + 0.997273y'^2 + 81 - 0.104654x'y' + 0.942024x' - 17.97434y'
Agora, o lado direito:
-40(0.998630x' + 0.052336y' - 4) = -39.9452x' - 2.09344y' + 160

Passo 7

Colocando tudo na mesma equação:
0.002741x'^2 + 0.997273y'^2 + 81 - 0.104654x'y' + 0.942024x' - 17.97434y' = -39.9452x' - 2.09344y' + 160
Vamos juntar todos os termos e simplificar:
0.002741x'^2 + 0.997273y'^2 - 0.104654x'y' + 0.942024x' - 17.97434y' + 81 + 39.9452x' + 2.09344y' - 160 = 0
Agrupando os termos semelhantes:
0.002741x'^2 + 0.997273y'^2 - 0.104654x'y' + (0.942024 + 39.9452)x' + (-17.97434 + 2.09344)y' + (81 - 160) = 0
Calculando:
0.002741x'^2 + 0.997273y'^2 - 0.104654x'y' + 40.887224x' - 15.8809y' - 79 = 0

Passo 8

Para finalizar, vamos arredondar os coeficientes para facilitar a representação:
0.0027x'^2 + 0.9973y'^2 - 0.1047x'y' + 40.8872x' - 15.8809y' - 79 = 0
Mas normalmente, multiplicamos para eliminar os decimais. Multiplicando toda a equação por 10000 para facilitar:
27x'^2 + 9973y'^2 - 1047x'y' + 408872x' - 158809y' - 790000 = 0

Resposta

A equação da nova parábola após a rotação de 27x^2 + 9973y^2 - 1047xy + 408872x - 158809y - 790000 = 0 no sentido horário em torno do ponto é:

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