Rotacione a parábola
em torno do ponto
por um ângulo de
no sentido horário. A equação da nova parábola deve ser apresentada na forma
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para rotacionarmos a parábola
em torno do ponto
por um ângulo de
no sentido horário. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de Geometria Analítica, especificamente sobre rotação de coordenadas e transformação de equações das curvas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da parábola que temos:
Essa é a forma padrão de uma parábola que abre para baixo, deslocada 9 unidades para a esquerda e 4 unidades para cima em relação à origem.
Passo 3
Agora, queremos rotacionar essa parábola em torno da origem
por um ângulo de
no sentido horário. Para fazer isso, usamos a transformação das coordenadas de rotação. A fórmula geral para rotacionar um ponto
em torno da origem por um ângulo
no sentido horário é:
Como o ângulo é no sentido horário, usamos
.
Passo 4
Vamos substituir
nas fórmulas de rotação:
Calculando os valores de
e
:
Então, as equações ficam:
Passo 5
Agora, queremos expressar a equação original da parábola em termos de
e
. Vamos substituir
e
pelas expressões em termos de
e
:
Substituindo na equação da parábola:
Passo 6
Vamos expandir os termos:
Primeiro, o lado esquerdo:
Calculando cada termo:
Agora, o lado direito:
Passo 7
Colocando tudo na mesma equação:
Vamos juntar todos os termos e simplificar:
Agrupando os termos semelhantes:
Calculando:
Passo 8
Para finalizar, vamos arredondar os coeficientes para facilitar a representação:
Mas normalmente, multiplicamos para eliminar os decimais. Multiplicando toda a equação por 10000 para facilitar:
Resposta
A equação da nova parábola após a rotação de
no sentido horário em torno do ponto
é: