Rotações entre sistemas de coordenadas II. (b) Sendo Aj^prime e Aj as componentes do vetor A em cada um dos sistemas, mostre que
Aj^prime=sumk=1^2 aj k Ak, onde aj k=partial xj^primepartial xk

Passo 1

O enunciado diz que temos um vetor A cujas componentes em dois sistemas de coordenadas (originais e “primadas”) são Aj^prime =sumk=1^2ajk,Ak, onde ajk=partial xj^primepartial xk e . Precisamos mostrar que
Conteúdo: transformações de coordenadas (rotação genérica em 2D) e regra da cadeia (derivadas parciais). Vamos usar a ideia de que um vetor pode ser visto como derivada de posição em relação a um parâmetro, e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos uma “trajetória” qualquer Ak = d xkd s, Aj' = d xj'd s em que
Aqui é a nova coordenada escrita como função das antigas. Nosso objetivo é relacionar com .

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia (para funções de várias variáveis) na derivada de d xj'd s =sumk=1^2 partial xj'partial xk,d xkd s :
dd sxj' =partial xj'partial x1,d x1d s +partial xj'partial x2,d x2d s
Isso porque, em 2D, se , então

Passo 4

Repare que ajk equiv partial xj'partial xk, e Aj' = sumk=1^2 ajk,Ak . Definindo
a expressão acima fica exatamente

Resposta

boxed Aj^prime =sumk=1^2ajk,Ak, com ajk=partial xj^primepartial xk

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