Rotações entre sistemas de coordenadas II. (b) Sendo
e
as componentes do vetor
em cada um dos sistemas, mostre que
Passo 1
O enunciado diz que temos um vetor A cujas componentes em dois sistemas de coordenadas (originais e “primadas”) são
e
. Precisamos mostrar que
Conteúdo: transformações de coordenadas (rotação genérica em 2D) e regra da cadeia (derivadas parciais). Vamos usar a ideia de que um vetor pode ser visto como derivada de posição em relação a um parâmetro, e aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Definimos uma “trajetória” qualquer
em que
Aqui
é a nova coordenada escrita como função das antigas. Nosso objetivo é relacionar
com
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia (para funções de várias variáveis) na derivada de
:
Isso porque, em 2D, se
, então
Passo 4
Repare que
e
. Definindo
a expressão acima fica exatamente