ROTEIRO DE ATIVIDADE - Cinemática da Partícula
Disciplina: Introdução à Dinâmica
Tema: Relações gráficas entre posição, velocidade e aceleração
Objetivo: Explorar computacionalmente as relações diferenciais e integrais da cinemática da partícula em 2D e 3D, por meio da construção de gráficos e análise física.
Desafio 3 - Movimento helicoidal (3D)
A posição de uma partícula no espaço é dada por:
Tarefas:
- Construa o gráfico 3D da trajetória da partícula.
- Determine a velocidade
e a aceleração
.
- Construa os gráficos
e
.
- Construa um gráfico de superfície relacionando
e o espaço percorrido
.
Tema: Relações gráficas entre posição, velocidade e aceleração
Objetivo: Explorar computacionalmente as relações diferenciais e integrais da cinemática da partícula em 2D e 3D, por meio da construção de gráficos e análise física.
Passo 1
O enunciado define a trajetória helicoidal de uma partícula em 3D por
e pede:
- Gráfico 3D de
. - Velocidade
e aceleração . - Gráficos de
versus e versus . - Gráfico de superfície relacionando
, e o espaço percorrido .
Conteúdo aplicado: derivação vetorial em parametrização e cálculo de comprimento de arco.
Passo 2
Derivamos componente a componente para obter velocidade e aceleração:
Passo 3
Calculamos as normas:
O espaço percorrido (comprimento de arco) é
Passo 4
Para o gráfico 3D da trajetória use, por exemplo, Python com Matplotlib:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from \(mpl_toolkits\).mplot3d import Axes3D
t = np.linspace(0, 2*np.pi, 400)
x = t
y = np.sin(t)
z = np.cos(t)
fig = plt.figure()
ax = fig.\(add_subplot\)(111, projection='3d')
ax.plot(x, y, z, 'b', lw\(=2\))
ax.\(set_xlabel\)('x=t')
ax.\(set_ylabel\)('y=sin t')
ax.\(set_zlabel\)('z=cos t')
plt.show()
Passo 5
Para os gráficos de
e
versus
, note que são constantes:
plt.figure()
plt.plot(t, np.sqrt(2)*np.\(ones_like\)(t), label='|v(t)|=√2')
plt.plot(t, np.\(ones_like\)(t), label='|a(t)|=1')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('magnitude')
plt.legend()
plt.show()
Passo 6
Como
e
são constantes, o “gráfico de superfície” paramétrico
é uma curva reta em 3D:
s = np.sqrt(2)*t
va = np.\(ones_like\)(t)
vv = np.sqrt(2)*np.\(ones_like\)(t)
fig = plt.figure()
ax = fig.\(add_subplot\)(111, projection='3d')
ax.plot(va, vv, s, 'r', lw\(=2\))
ax.\(set_xlabel\)('|a|=1')
ax.\(set_ylabel\)('|v|=√2')
ax.\(set_zlabel\)('s(t)=√2 t')
plt.show()