ROTEIRO DE ATIVIDADE - Cinemática da Partícula
Disciplina: Introdução à Dinâmica
Tema: Relações gráficas entre posição, velocidade e aceleração
Objetivo: Explorar computacionalmente as relações diferenciais e integrais da cinemática da partícula em 2D e 3D, por meio da construção de gráficos e análise física.
Desafio 3 - Movimento helicoidal (3D)
A posição de uma partícula no espaço é dada por:
\mathbf{r}(\mathrm{t})=(\mathrm{t}, \operatorname{sen} \mathrm{t}, \cos \mathrm{t}), \quad \mathrm{t} \in[0,2 \pi]
Tarefas:
  1. Construa o gráfico 3D da trajetória da partícula.
  2. Determine a velocidade \mathbf{v}(\mathrm{t}) e a aceleração \mathbf{a}(\mathrm{t}).
  3. Construa os gráficos |v(\mathrm{t})| x \mathrm{t} e |\mathrm{a}(\mathrm{t})| x \mathrm{t}.
  4. Construa um gráfico de superfície relacionando |\mathbf{a}|,|\mathbf{v}| e o espaço percorrido \mathbf{s}(\mathrm{t}).

Passo 1

O enunciado define a trajetória helicoidal de uma partícula em 3D por
\mathbf{r}(t) = \bigl(t,\;\sin t,\;\cos t\bigr), \quad t\in[0,2\pi],
e pede:
  1. Gráfico 3D de \mathbf{r}(t).
  2. Velocidade \mathbf{v}(t) e aceleração \mathbf{a}(t).
  3. Gráficos de \lvert v(t)\rvert versus t e \lvert a(t)\rvert versus t.
  4. Gráfico de superfície relacionando \lvert \mathbf{a}\rvert, \lvert \mathbf{v}\rvert e o espaço percorrido s(t).
Conteúdo aplicado: derivação vetorial em parametrização e cálculo de comprimento de arco.

Passo 2

Derivamos componente a componente para obter velocidade e aceleração:
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt} =\bigl(1,\;\cos t,\;-\,\sin t\bigr),
\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt} =\bigl(0,\;-\sin t,\;-\,\cos t\bigr).

Passo 3

Calculamos as normas:
\lvert \mathbf{v}(t)\rvert =\sqrt{1^2+\cos^2t+(-\sin t)^2} =\sqrt{1+(\cos^2t+\sin^2t)} =\sqrt{2},
\lvert \mathbf{a}(t)\rvert =\sqrt{0^2+(-\sin t)^2+(-\cos t)^2} =\sqrt{\sin^2t+\cos^2t} =1.
O espaço percorrido (comprimento de arco) é
s(t)=\int_{0}^{t}\lvert \mathbf{v}(\tau)\rvert\,d\tau =\int_{0}^{t}\sqrt{2}\,d\tau =\sqrt{2}\;t.

Passo 4

Para o gráfico 3D da trajetória use, por exemplo, Python com Matplotlib:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from \(mpl_toolkits\).mplot3d import Axes3D

t = np.linspace(0, 2*np.pi, 400)
x = t
y = np.sin(t)
z = np.cos(t)

fig = plt.figure()
ax = fig.\(add_subplot\)(111, projection='3d')
ax.plot(x, y, z, 'b', lw\(=2\))
ax.\(set_xlabel\)('x=t')
ax.\(set_ylabel\)('y=sin t')
ax.\(set_zlabel\)('z=cos t')
plt.show()

Passo 5

Para os gráficos de \lvert v(t)\rvert e \lvert a(t)\rvert versus t, note que são constantes:
plt.figure()
plt.plot(t, np.sqrt(2)*np.\(ones_like\)(t), label='|v(t)|=√2')
plt.plot(t, np.\(ones_like\)(t), label='|a(t)|=1')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('magnitude')
plt.legend()
plt.show()

Passo 6

Como \lvert\mathbf{v}\rvert e \lvert\mathbf{a}\rvert são constantes, o “gráfico de superfície” paramétrico (\,\lvert\mathbf{a}(t)\rvert,\;\lvert\mathbf{v}(t)\rvert,\;s(t)\,) é uma curva reta em 3D:
s = np.sqrt(2)*t
va = np.\(ones_like\)(t)
vv = np.sqrt(2)*np.\(ones_like\)(t)

fig = plt.figure()
ax = fig.\(add_subplot\)(111, projection='3d')
ax.plot(va, vv, s, 'r', lw\(=2\))
ax.\(set_xlabel\)('|a|=1')
ax.\(set_ylabel\)('|v|=√2')
ax.\(set_zlabel\)('s(t)=√2 t')
plt.show()

Resposta

\mathbf{v}(t) = \bigl(1,\cos t,-\sin t\bigr) \mathbf{a}(t) = \bigl(0,-\sin t,-\cos t\bigr) \lvert \mathbf{v}(t)\rvert = \sqrt{2} (constante) \lvert \mathbf{a}(t)\rvert = 1 (constante) s(t) = \sqrt{2}\,t

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