ROTEIRO DE ATIVIDADE - Cinemática da Partícula
Disciplina: Introdução à Dinâmica
Tema: Relações gráficas entre posição, velocidade e aceleração
Objetivo: Explorar computacionalmente as relações diferenciais e integrais da cinemática da partícula em 2D e 3D, por meio da construção de gráficos e análise física.
Desafio 2 - Aceleração em função da posição (2D)
A aceleração da partícula depende da posição conforme:
a(s)=0.2 s, \quad s \in[0,10]
Tarefas:
  1. Construa o gráfico \mathrm{a} \times \mathrm{s}.
  2. A partir da relação a(s)=v(d v / d s), determine v(s), considerando v(0)=0.
  3. Determine o tempo em função da posição t(s).
  4. Construa os gráficos v \times s.
  5. Interprete fisicamente o que significa a aceleração crescer linearmente com a posição.

Passo 1

O enunciado dá a aceleração em função da posição na forma
a(s)=0.2\,s,\quad s\in[0,10],
e pede que:
  1. façamos o gráfico de a versus s;
  2. usemos a relação
a(s)=v\,\frac{dv}{ds}
para encontrar v(s) com v(0)=0;
3. obtenhamos t(s) a partir de dt=ds/v;
4. façamos o gráfico de v versus s;
5. interpretemos fisicamente o significado de a(s) crescer linearmente.
Para resolver, vamos usar integração nas relações diferenciais da cinemática e depois descrever os gráficos e a interpretação física.

Passo 2

Usando
a(s)=v\,\frac{dv}{ds}=0.2\,s,
separamos variáveis e integramos:
\int v\,dv=\int 0.2\,s\,ds \quad\Longrightarrow\quad \frac{v^2}{2}=0.1\,s^2+C.
Como v(0)=0, temos C=0. Logo
v^2=0.2\,s^2 \quad\Longrightarrow\quad v(s)=\sqrt{0.2}\,s=\frac{s}{\sqrt{5}}.

Passo 3

Da definição de velocidade \displaystyle v=\frac{ds}{dt} vem
dt=\frac{ds}{v(s)}=\frac{ds}{\sqrt{0.2}\,s} \quad\Longrightarrow\quad t(s)=\int\frac{1}{\sqrt{0.2}}\;\frac{1}{s}\,ds =\frac{1}{\sqrt{0.2}}\ln(s)+C'.
Para adotar um referencial em que t=0 quando s=1, por exemplo, escolhemos C'=-\tfrac{1}{\sqrt{0.2}}\ln(1)=0. Assim
t(s)=\frac{1}{\sqrt{0.2}}\ln(s)=\sqrt{5}\,\ln(s),
observando que, matematicamente, o tempo diverge ao aproximar s\to0.

Passo 4

Os gráficos são retos pois ambas as leis são lineares em s:
  • Gráfico de a(s): reta passando por (0,0) e (10,2) com inclinação 0.2.
  • Gráfico de v(s): reta passando por (0,0) e \bigl(10,\tfrac{10}{\sqrt5}\bigr) com inclinação \sqrt{0.2}\approx0.4472.

Passo 5

Fisicamente, a(s)\propto s significa que quanto mais a partícula se afasta da origem, maior é a aceleração que ela experimenta. É análogo a um movimento sob força linear em s (como uma mola), mas aqui sempre no mesmo sentido de afastamento, gerando um “empuxo” que cresce com a posição.

Resposta

a(s)=0.2\,s. Gráfico: reta de inclinação 0.2.
v(s)=\sqrt{0.2}\,s=\dfrac{s}{\sqrt5}.
t(s)=\dfrac{1}{\sqrt{0.2}}\ln(s)=\sqrt5\,\ln(s).
• Gráfico de v vs.\ s: reta de inclinação \sqrt{0.2}.
• Interpretação: aceleração crescente com s indica força que aumenta linearmente com o afastamento, acelerando cada vez mais a partícula quanto mais ela se afasta.

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