Q1 (3pts) A função posição x(t) de uma partícula que está se movendo ao longo do eixo x é dada por:
x(t)=t^{3}-3 t^{2}+2 t-1,
com x em metros e t em segundos.
(a) Calcule a velocidade média entre t=0 \mathrm{~s} e t=1 \mathrm{~s}.
(b) Em que instantes de tempo, e em que posições, a partícula para (momentaneamente)?
(c) Em que instante a aceleração da partícula é positiva, negativa, e zero?

Passo 1

O enunciado nos dá a posição de uma partícula ao longo do eixo x por
x(t)=t^{3}-3t^{2}+2t-1,
com t em segundos e x em metros.
(a) Pede a velocidade média entre t=0 s e t=1 s;
(b) Quando a partícula “para”, ou seja, quando a velocidade é zero, e em que posições isso acontece;
(c) Quando a aceleração é positiva, negativa e nula.
Para resolver usaremos:
– Definição de velocidade média como razão de variação de x.
– Derivadas para obter velocidade v(t) e aceleração a(t).
– Análise de sinais de a(t).

Passo 2

Velocidade média entre t=0 e t=1 é
v_\text{m}=\frac{x(1)-x(0)}{1-0}.
Calculando
x(1)=1^3-3\cdot1^2+2\cdot1-1=-1,\quad x(0)=0-0+0-1=-1,
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v_\text{m}=\frac{-1-(-1)}{1}=0\\ \text{m/s}.

Passo 3

A velocidade instantânea é a derivada de x(t):
v(t)=x'(t)=3t^2-6t+2.
Para achar quando a partícula para, resolvemos
3t^2-6t+2=0.

Passo 4

Usando a fórmula de Bhaskara em 3t^2-6t+2=0:
t=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot3\cdot2}}{2\cdot3} =\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{6} =\frac{6\pm\sqrt{12}}{6} =1\pm\frac{\sqrt3}{3}.
São dois instantes
\displaystyle t_1=1-\frac{\sqrt3}{3}\approx0,423,s
e
\displaystyle t_2=1+\frac{\sqrt3}{3}\approx1,577,s.

Passo 5

Para cada instante, calculamos a posição x(t_i). Por exemplo, numericamente:
Para t_1\approx0,423:
x(t_1)\approx(0,423)^3-3(0,423)^2+2(0,423)-1\approx-0,615\\ \text{m}.
Para t_2\approx1,577:
x(t_2)\approx(1,577)^3-3(1,577)^2+2(1,577)-1\approx-1,382\\ \text{m}.

Passo 6

A aceleração é a derivada de v(t):
a(t)=v'(t)=6t-6.

Passo 7

Analisando a(t)=6t-6:
a(t)=0 em t=1,s.
a(t)>0 se 6t-6>0\iff t>1,s.
a(t)<0 se t<1,s.

Resposta

(a) A velocidade média é 0,m/s.
(b) A partícula para em
\displaystyle t=1\pm\frac{\sqrt3}{3} s (aprox. 0,423 s e 1,577 s),
nas posições x\approx-0,615 m e x\approx-1,382 m, respectivamente.
(c) A aceleração é negativa para t<1 s, zero em t=1 s e positiva para t>1 s.

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