Questão 10.Identifique todos os pontos em que a função a seguir é contínua:
f(x)= \begin{cases}\log _{\frac{1}{2}}|x|, & \text { se } x<0 \\\\ 0, & \text { se } x=0 \\\ \frac{1}{x^{3}}, & \text { se } 0<x<1 \\\\ 2, & \text { se } x=1 \\\\ 1+\log _{2} x, & \text { se } x>1\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} \log_{\frac12}|x|, & x<0,\\\\ 0, & x=0,\\\ \dfrac1{x^3}, & 0<x<1,\\\\ 2, & x=1,\\\\ 1+\log_2x, & x>1, \end{cases}
e pede os pontos em que f é contínua. O conteúdo é continuidade de funções elementares (logaritmo e razão de polinômios) e continuidade em pontos de fronteira de intervalos.

Passo 2

Em cada porção aberta onde a fórmula é uma única expressão elementar, f é contínua:
  • Para x<0, \log_{\frac12}|x| é contínua em todo (-\infty,0).
  • Para 0<x<1, \tfrac1{x^3} é contínua em (0,1).
  • Para x>1, 1+\log_2x é contínua em (1,\infty).

Passo 3

Verificamos a continuidade em x=0 exigindo
\lim_{x\to0^-}f(x)=f(0)=\lim_{x\to0^+}f(x).
Mas \displaystyle\lim_{x\to0^-}\log_{\frac12}|x| =\lim_{t\to0^+}\log_{\frac12}t=+\infty e \displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac1{x^3}=+\infty,
logo não se igualam a f(0)=0. Há descontinuidade em x=0.

Passo 4

Verificamos a continuidade em x=1 exigindo
\lim_{x\to1^-}f(x)=f(1)=\lim_{x\to1^+}f(x).
Aqui \displaystyle\lim_{x\to1^-}\frac1{x^3}=1 e \displaystyle\lim_{x\to1^+}\bigl(1+\log_2x\bigr)=1+0=1,
mas f(1)=2. Portanto, há descontinuidade em x=1.

Resposta

f é contínua para todo x em
(-\infty,0)\;\cup\;(0,1)\;\cup\;(1,\infty).

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