ROTEIRO DE ATIVIDADE - Cinemática da Partícula

Disciplina: Introdução à Dinâmica
Tema: Relações gráficas entre posição, velocidade e aceleração
Objetivo: Explorar computacionalmente as relações diferenciais e integrais da cinemática da partícula em 2D e 3D, por meio da construção de gráficos e análise física.

Desafio 1 - Movimento retilíneo (2D)

A velocidade de uma partícula é dada por:
v(t)=2 t-t^{2}, \quad t \in[0,4] s

Tarefas:

  1. Construa o gráfico \mathrm{v} \times \mathrm{t}.
  2. Determine a aceleração em função do tempo e construa o gráfico a \times t.
  3. Determine a posição em função do tempo (admitindo s(0)=0 ) e construa o gráfico s \times t.
  4. No gráfico v \times t, identifique os trechos de aceleração e desaceleração.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade de uma partícula em movimento retilíneo como
v(t)=2t - t^{2},\quad t\in[0,4]\text{ s}
e pede que a gente construa o gráfico de v versus t, determine a aceleração a(t) (e seu gráfico), encontre a posição s(t) com s(0)=0 (e seu gráfico) e identifique nos trechos do gráfico v\times t onde há aceleração e desaceleração. Vamos usar derivação para achar a(t) e integração para achar s(t), além de analisar a forma das curvas.

Passo 2

Para construir o gráfico de v\times t note que
v(t)=t\,(2 - t)
é uma parábola que se anula em t=0 e t=2, atinge máximo em t=1 e decresce depois. Pontos principais:
\begin{aligned} t=0&\implies v(0)=0,\\\ t=1&\implies v(1)=1,\\\ t=2&\implies v(2)=0,\\\ t=3&\implies v(3)=-3,\\\ t=4&\implies v(4)=-8. \end{aligned}
No gráfico isso dá uma parábola virada para baixo começando em (0,0), subindo até (1,1), voltando a zero em t=2 e ficando negativa até t=4.

Passo 3

A aceleração é a derivada de v(t):
a(t)=\frac{dv}{dt}=2 - 2t.
Para o gráfico de a\times t temos uma reta com coeficiente angular -2 e intercepto 2:
a(0)=2,\quad a(1)=0,\quad a(4)=-6.
Ela parte de (0,2), cruza zero em t=1 e vai decrescendo até (4,-6).

Passo 4

A posição é a integral de v(t) com s(0)=0:
s(t)=\int_{0}^{t}(2\tau - \tau^{2})\,d\tau =t^{2}-\frac{t^{3}}{3}.
Para o gráfico de s\times t usamos pontos-chave:
\begin{aligned} s(0)&=0,\\\ s(1)&=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3},\\\ s(2)&=4-\tfrac{8}{3}=\tfrac{4}{3},\\\ s(3)&=9-\tfrac{27}{3}=0,\\\ s(4)&=16-\tfrac{64}{3}=-\tfrac{16}{3}. \end{aligned}
A curva sobe de 0 a t=2, alcança 4/3, e depois decresce passando por zero em t=3 e ficando negativa até t=4.

Passo 5

No gráfico v\times t a aceleração a(t) diz o sinal da inclinação de v. Como
a(t)>0\iff 2-2t>0\iff t<1,
a velocidade está aumentando (aceleração) em 0\le t<1. Para
t>1\implies a(t)<0,
a velocidade está diminuindo (desaceleração) de t=1 até t=4.

Resposta

v×t: parábola v(t)=2t - t^{2} com zeros em t=0,2 e máximo em (1,1).
a×t: reta a(t)=2-2t, intercepto (0,2), cruza zero em t=1.
s×t: s(t)=t^{2}-\tfrac{t^{3}}{3}, cresce até t=2, decresce depois.
Acelera em 0\le t<1 e desacelera em 1<t\le4.

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