Um gás à temperatura T que tem N moléculas, ocupa um recipiente de volume V_{1} separado por uma divisória removível de outro recipiente vazio de volume V_{2}. Quando se retira a divisória, o gás ocupa o volume total V_{1}+V_{2}. Prove que a variação da entropia é \Delta S=N k_{B} \ln \left(1+\frac{V_{2}}{V_{1}}\right). Mostre que \Delta S é positivo.

Passo 1

O enunciado descreve um gás ideal com N moléculas, à temperatura constante T, inicialmente confinado em um volume V_{1}. Ao remover uma divisória, o gás expande livremente para ocupar o volume total V_{1}+V_{2}. Precisamos calcular a variação de entropia \Delta S dessa expansão. Como a entropia é uma função de estado, podemos escolher um caminho termodinamicamente reversível isotérmico entre os mesmos estados inicial e final para avaliá-la.

Passo 2

Para qualquer transformação reversível, a variação de entropia é
\Delta S \;=\;\int_{\text{inicial}}^{\text{final}} \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}\,.
No processo isotérmico reversível de expansão de um gás ideal, a troca de calor elementar é \delta Q_{\text{rev}} = P\,dV.

Passo 3

Usando a equação de estado do gás ideal em forma microscópica,
P = \frac{N k_{B} T}{V}\,,
substituímos em \delta Q_{\text{rev}} e em \Delta S:
\Delta S =\int_{V_{1}}^{V_{1}+V_{2}}\frac{P\,dV}{T} =\int_{V_{1}}^{V_{1}+V_{2}}\frac{N k_{B} T}{V}\,\frac{dV}{T} = N k_{B}\int_{V_{1}}^{V_{1}+V_{2}}\frac{dV}{V}\,.

Passo 4

Efetuando a integração logarítmica, obtemos
\Delta S = N k_{B}\left[\ln V\right]_{V_{1}}^{V_{1}+V_{2}} = N k_{B}\,\ln\!\biggl(\frac{V_{1}+V_{2}}{V_{1}}\biggr) = N k_{B}\,\ln\!\Bigl(1+\frac{V_{2}}{V_{1}}\Bigr)\,.

Passo 5

Como V_{2}>0, tem-se 1+V_{2}/V_{1}>1 e, portanto,
\Delta S = N k_{B}\ln\!\Bigl(1+\frac{V_{2}}{V_{1}}\Bigr) > 0.

Resposta

\Delta S = N k_{B}\,\ln\!\Bigl(1+\frac{V_{2}}{V_{1}}\Bigr),
que é manifestamente positiva.

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