Considere os limites a seguir:
I. \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{3}+5 x}{2 x^{3}-3}
II. \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{5}{x}\right)^{x}
III. \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x+2 x}{x^{2}-x}
IV. \lim _{x \rightarrow-3} \frac{2|x|+x-3}{\sqrt{x^{2}+7}}
Quantos deles valem zero?
а) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatro limites e verificar quantos deles são iguais a zero. O conteúdo envolve limites no infinito, limite de sequência exponencial, desenvolvimento em série de Taylor e avaliação direta de função contínua.

Passo 2

Analisando
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^3+5x}{2x^3-3},
fatoramos x^3 em numerador e denominador:
\frac{x^3\bigl(1+5/x^2\bigr)}{x^3\bigl(2-3/x^3\bigr)} =\frac{1+5/x^2}{2-3/x^3}\xrightarrow[x\to-\infty]{}\frac{1}{2}\neq0.

Passo 3

Analisando
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{5}{x}\Bigr)^{x},
reconhecemos a forma padrão \bigl(1+\tfrac{a}{x}\bigr)^x\to e^a. Aqui a=5, logo o limite vale e^5\neq0.

Passo 4

Analisando
\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x+2x}{x^2-x},
usamos a expansão \cos x\approx1-\tfrac{x^2}{2}. Então o numerador fica
1-\bigl(1-\tfrac{x^2}{2}\bigr)+2x=\tfrac{x^2}{2}+2x,
e o denominador é x^2-x=x(x-1). Assim
\frac{\tfrac{x^2}{2}+2x}{x(x-1)} =\frac{x\bigl(\tfrac{x}{2}+2\bigr)}{x(x-1)} =\frac{\tfrac{x}{2}+2}{x-1} \xrightarrow[x\to0]{}\frac{2}{-1}=-2\neq0.

Passo 5

Analisando
\lim_{x\to-3}\frac{2|x|+x-3}{\sqrt{x^2+7}},
como x\to-3 temos |x|=-x=3. O numerador é
2\cdot3+(-3)-3=6-3-3=0,
e o denominador \sqrt{9+7}=4. Logo o limite vale 0/4=0.

Passo 6

Só o quarto limite é zero. Portanto, há exatamente um limite igual a zero.

Resposta

d) 1

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