S-3.25 Mostre que 5 é o único número primo que pertence a dois pares distintos de primos gêmeos.

Passo 1

Resumindo: queremos um primo p que entre em dois pares de primos gêmeos, isto é, tanto (p-2,p) quanto (p,p+2) sejam pares de primos gêmeos. É fácil ver que
  • p=2 falha, pois 2-2=0 e 2+2=4 não são primos.
  • p=3 falha, pois 3-2=1 não é primo.
    Resta então estudar p>3.

Passo 2

Para todo primo p>3 temos necessariamente
pequiv1pmod3 ou pequiv2pmod3
pois se pequiv0pmod3 então p=3, que já eliminamos. Vamos ver qual desses casos permite que ambos p-2 e p+2 sejam primos.

Passo 3

Caso pequiv1pmod3:
então
p+2equiv1+2=3equiv0pmod3
Se p+2>3, ele seria múltiplo de 3 e, portanto, composto. A única chance seria p+2=3, mas isso dá p=1, que não é primo. Conclusão: nenhum primo com pequiv1pmod3 funciona.

Passo 4

Caso pequiv2pmod3:
então
p-2equiv2-2=0pmod3
Para p-2 ser primo, ele precisa ser exatamente 3, já que qualquer outro múltiplo de 3 é composto. Assim
p-2=3Longrightarrow p=5
E, de fato, 5-2=3 e 5+2=7 são primos, formando os pares (3,5) e (5,7).

Resposta

5

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