S-3.25 Mostre que 5 é o único número primo que pertence a dois pares distintos de primos gêmeos.
Passo 1
Resumindo: queremos um primo
que entre em dois pares de primos gêmeos, isto é, tanto
quanto
sejam pares de primos gêmeos. É fácil ver que
-
falha, pois e não são primos. -
falha, pois não é primo.
Resta então estudar.
Passo 2
Para todo primo
temos necessariamente
pois se
então
, que já eliminamos. Vamos ver qual desses casos permite que ambos
e
sejam primos.
Passo 3
Caso
:
então
então
Se
, ele seria múltiplo de
e, portanto, composto. A única chance seria
, mas isso dá
, que não é primo. Conclusão: nenhum primo com
funciona.
Passo 4
Caso
:
então
então
Para
ser primo, ele precisa ser exatamente
, já que qualquer outro múltiplo de
é composto. Assim
E, de fato,
e
são primos, formando os pares
e
.