Encontre a solução geral das EDOs abaixo.
y^prime=(4 x^2+y^2) /(x y)

Passo 1

E aí! A questão pede que a gente ache a solução geral da EDO
y' = 4x^2 + y^2x,y
Isso faz parte de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem. Para resolver, vamos usar a mudança de variável z = y^2 e depois aplicar o método de fator integrante.

Passo 2

Primeiro, simplifico o lado direito:
y' = 4x^2x,y + y^2x,y = 4xy + yx
Assim fica mais fácil ver o que vem a seguir.

Passo 3

Perceba que
ddx(y^2) ;=; 2y,y'
Se eu definir z = y^2, então
dzdx = 2y,y' = 2!l(tfrac4xy + tfracyxr)y = 2y^2x + 8x = 2zx + 8x
Agora transformamos a equação em uma EDO linear na variável z.

Passo 4

A EDO em z fica
dzdx - 2x,z = 8x,
que é do tipo z' + P(x)z = Q(x) com P(x) = -tfrac2x.
O fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral -tfrac2x,dx = x^-2
Multiplicando toda a equação por x^-2:
x^-2dzdx - 2x^-3z = 8xx^2 = 8x,
e o lado esquerdo é
ddxl(z,x^-2r) = 8x

Passo 5

Integro ambos os lados em relação a x:
z,x^-2 = integral 8x,dx = 8ln|x| + C,
onde C é a constante de integração. Multiplicando por x^2,
z = y^2 = x^2l(8ln|x| + Cr)

Resposta

boxedy^2 = x^2l(C + 8ln|x|r) Longrightarrow y = pm xraizC + 8ln|x|

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