a) Calcule lim h 0 f(p+h)-f(p)h, para f(x)=3 x+1.
b) Calcule lim x p f(x)-f(p)x-p, para f(x)=1x.
c) Os limites lim h 0 f(p+h)-f(p)h e lim x p f(x)-f(p)x-p são iguais. Verifique esse fato inicialmente para o exemplo em que f(x)=x^2, e depois justifique de maneira geral, independente da função f, através de uma mudança de variável adequada. (Estes limites vão aparecer quando estudarmos derivadas.)

Passo 1

O enunciado explora as duas formas equivalentes de escrever o quociente de diferença de uma função no ponto p:
limhto 0f(p+h)-f(p)h e limxto pf(x)-f(p)x-p
Esses limites definem a derivada de f em p. Vamos calcular cada um para as funções dadas em (a) e (b), depois verificar em (c) que, embora pareçam diferentes, eles sempre coincidem.

Passo 2

Para f(x)=3x+1 temos
f(p+h)-f(p)=l(3(p+h)+1r)-l(3p+1r)=3h
Dividindo por h e tomando o limite:
limhto0f(p+h)-f(p)h =limhto03hh =limhto03 =3

Passo 3

Para f(x)=1/x analisamos
f(x)-f(p)x-p =tfrac1x-tfrac1px-p =p-xpxcdot1x-p =-1px
Agora fazemos xto p:
limxto pf(x)-f(p)x-p =limxto pl(-1pxr) =-1p^2

Passo 4

Para f(x)=x^2 calculamos os dois limites e mostramos que dão o mesmo resultado:
  1. Com hto0:
f(p+h)-f(p)h =(p+h)^2-p^2h =2ph+h^2h =2p+h ;longrightarrow;2p
  1. Com xto p:
f(x)-f(p)x-p =x^2-p^2x-p =x+p ;longrightarrow;2p
Em ambos o limite é 2p.

Passo 5

Em geral basta notar a mudança de variável
x=p+h Long<=ftrightarrow h=x-p
Quando hto0, então xto p, e
f(p+h)-f(p)h =f(x)-f(p)x-p
Portanto, os dois limites são idênticos sempre que existirem.

Resposta

a) 3
b) -tfrac1p^2
c) Para f(x)=x^2 ambos os limites valem 2p. Em geral, fazendo a troca x=p+h, obtém-se a mesma expressão, provando que
limhto0f(p+h)-f(p)h =limxto pf(x)-f(p)x-p

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