a) Calcule
, para
.
b) Calcule
, para
.
c) Os limites
e
são iguais. Verifique esse fato inicialmente para o exemplo em que
, e depois justifique de maneira geral, independente da função
, através de uma mudança de variável adequada. (Estes limites vão aparecer quando estudarmos derivadas.)
b) Calcule
c) Os limites
Passo 1
O enunciado explora as duas formas equivalentes de escrever o quociente de diferença de uma função no ponto
:
Esses limites definem a derivada de
em
. Vamos calcular cada um para as funções dadas em (a) e (b), depois verificar em (c) que, embora pareçam diferentes, eles sempre coincidem.
Passo 2
Para
temos
Dividindo por
e tomando o limite:
Passo 3
Para
analisamos
Agora fazemos
:
Passo 4
Para
calculamos os dois limites e mostramos que dão o mesmo resultado:
- Com
:
- Com
:
Em ambos o limite é
.
Passo 5
Em geral basta notar a mudança de variável
Quando
, então
, e
Portanto, os dois limites são idênticos sempre que existirem.
Resposta
a)
b)
c) Para ambos os limites valem
. Em geral, fazendo a troca
, obtém-se a mesma expressão, provando que
b)
c) Para