S-3.27 Dados dois inteiros
e
distintos, mostre que existem infinitos números
para os quais
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados dois inteiros distintos
e
, existem infinitos inteiros
tais que
O conteúdo aqui é teoria de números, mais precisamente propriedades do máximo divisor comum (mdc).
Passo 2
Usamos a propriedade de mdc de que, para quaisquer inteiros
,
Aplicando isso a
, temos
Passo 3
Defina
Então
Escreva
na forma de resto módulo
, ou seja, existe
tal que
Logo
e
Queremos
.
Passo 4
Como
é fixo, considere o conjunto de restos
Pelo teorema de Euler,
. Para cada
, a congruência
é solucionável em
, com soluções dadas por
Cada uma dessas progressões aritméticas contém infinitos inteiros
, e para tais
temos
Resposta
Como há
classes de resto
com
, cada uma gerando uma progressão aritmética infinita de
que satisfaz
, concluímos que existem infinitos inteiros
tais que
.