S-3.27 Dados dois inteiros a e b distintos, mostre que existem infinitos números n para os quais mdc(a+n, b+n)=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois inteiros distintos a e b, existem infinitos inteiros n tais que
gcd(a+n,;b+n)=1
O conteúdo aqui é teoria de números, mais precisamente propriedades do máximo divisor comum (mdc).

Passo 2

Usamos a propriedade de mdc de que, para quaisquer inteiros x,y,
gcd(x,y)=gcdl(x,y-xr)
Aplicando isso a gcd(a+n,b+n), temos
gcd(a+n,b+n) =gcdl(a+n,,(b+n)-(a+n)r) =gcdl(a+n,;b-ar)

Passo 3

Defina
D = |b-a| > 0
Então
gcd(a+n,b+n) =gcd(a+n,D)
Escreva a na forma de resto módulo D, ou seja, existe k tal que
aequiv kpmodD, 0<= k<D
Logo
a+nequiv k+npmodD,
e
gcd(a+n,D)=gcd(k+n,D)
Queremos gcd(k+n,D)=1.

Passo 4

Como D é fixo, considere o conjunto de restos
R = ,rin0,1,dots,D-1mid gcd(r,D)=1
Pelo teorema de Euler, lvert Rrvert = varphi(D)>=1. Para cada rin R, a congruência
k + n equiv r pmodD
é solucionável em n, com soluções dadas por
n equiv r - k pmodD
Cada uma dessas progressões aritméticas contém infinitos inteiros n, e para tais n temos
gcd(k+n,D)=gcd(r,D)=1

Resposta

Como há varphi(D)>=1 classes de resto r com gcd(r,D)=1, cada uma gerando uma progressão aritmética infinita de n que satisfaz gcd(a+n,b+n)=1, concluímos que existem infinitos inteiros n tais que gcd(a+n,b+n)=1.

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