Suponha que
são tais que
Verifique que esta propriedade implica necessariamente que
a=b=c=0 .
Passo 1
O enunciado diz que para todos os
xinR
Queremos mostrar que isso força
a=b=c=0 . Vamos usar escolhas especiais de
x (em particular
x=0 e limites quando
xto0 ) para isolar cada coeficiente.
Passo 2
Escolhendo
x=0 na desigualdade, obtemos
logo
Passo 3
Com
c=0 , a desigualdade vira
Para
xneq0 podemos dividir por
|x| , obtendo
Agora fazemos
xto0 . O lado direito tende a
0 , então
Passo 4
Com
b=c=0 , resta
Para
xneq0 dividimos por
|x|^2 :
Como isso vale para todo
xneq0 , ao fazermos
xto0 obtemos