Suponha que a, b, c in R são tais que
|a x^2+b x+c| <=|x|^3, forall x in R
Verifique que esta propriedade implica necessariamente que a=b=c=0.

Passo 1

O enunciado diz que para todos os xinR
|a x^2+b x+c|<= |x|^3
Queremos mostrar que isso força a=b=c=0. Vamos usar escolhas especiais de x (em particular x=0 e limites quando xto0) para isolar cada coeficiente.

Passo 2

Escolhendo x=0 na desigualdade, obtemos
|acdot0^2+bcdot0+c|<= |0|^3Longrightarrow |c|<=0
logo
c=0

Passo 3

Com c=0, a desigualdade vira
|a x^2+b x|<= |x|^3
Para xneq0 podemos dividir por |x|, obtendo
|a x + b|<= |x|^2
Agora fazemos xto0. O lado direito tende a 0, então
limxto0|a x + b|<=0 Longrightarrow|b|<=0 Longrightarrow b=0

Passo 4

Com b=c=0, resta
|a x^2|<= |x|^3
Para xneq0 dividimos por |x|^2:
|a|<= |x|
Como isso vale para todo xneq0, ao fazermos xto0 obtemos
|a|<=0 Longrightarrow a=0

Resposta

a=b=c=0.

Exercícios relacionados