S-3.33
(a) Ache os números primos da forma
.
(b) Existem primos da forma
? E
?
(c) Mostre que se
e
, então
é composto.
(d) Mostre que se
é composto, então
é composto.
(b) Existem primos da forma
(c) Mostre que se
(d) Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede para investigar a primalidade de expressões da forma
e provar composições usando fatoração de diferenças de potências. Vamos usar:
- Para
: diferença de quadrados - Para
: fatoração geral - Para Mersenne (
) com composto
Passo 2
(a) Queremos
primo. Note que
Para ser primo, um dos fatores deve valer
. Se
então
e
, que é primo. Se
então
, não produz primo positivo.
Passo 3
(b) Primeiro,
. Fatoramos
Para ser primo, um dos fatores deve ser
.
-
dá e , primo. -
leva a , ou ou , não geram primo positivo.
Logo, só há o primocom .
Agora,
. Fatoramos em duas etapas:
Nenhum desses produtos pode ser primo porque todos os três fatores são
para
. Testando
dá
, composto. Logo, não há primo da forma
.
Passo 4
(c) Para
e
, a fatoração geral é
Como
e a soma dentro do parêntese tem pelo menos
termos todos positivos, ambos os fatores são
. Logo,
é composto.
Passo 5
(d) Se
é composto, escreva
com
. Então
Como
e o outro fator é
, ambos são
. Logo,
é composto.
Resposta
(a) O único primo é
.
(b) Para o único primo é
; para
não há primo.
(c) Se e
, então
é sempre composto.
(d) Se é composto, então
é sempre composto.
(b) Para
(c) Se
(d) Se