S-3.33

(a) Ache os números primos da forma a^2-1.
(b) Existem primos da forma a^3-1 ? E a^4-1 ?
(c) Mostre que se a>2 e n>1, então a^n-1 é composto.
(d) Mostre que se n é composto, então 2^n-1 é composto.

Passo 1

O enunciado pede para investigar a primalidade de expressões da forma a^n-1 e provar composições usando fatoração de diferenças de potências. Vamos usar:
  1. Para n=2: diferença de quadrados
  2. Para n>=3: fatoração geral
  3. Para Mersenne ( a=2) com n composto

Passo 2

(a) Queremos a^2-1 primo. Note que
a^2-1 = (a-1)(a+1)
Para ser primo, um dos fatores deve valer 1. Se a-1=1 então a=2 e a^2-1=3, que é primo. Se a+1=1 então a=0, não produz primo positivo.

Passo 3

(b) Primeiro, a^3-1. Fatoramos
a^3-1 = (a-1)(a^2 + a + 1)
Para ser primo, um dos fatores deve ser 1.
  • a-1=1 a=2 e 2^3-1=7, primo.
  • a^2+a+1=1 leva a a(a+1)=0, ou a=0 ou a=-1, não geram primo positivo.
    Logo, só há o primo 7 com a=2.
Agora, a^4-1. Fatoramos em duas etapas:
a^4-1 = (a^2-1)(a^2+1) = (a-1)(a+1)(a^2+1)
Nenhum desses produtos pode ser primo porque todos os três fatores são >=2 para a>=2. Testando a=2 15, composto. Logo, não há primo da forma a^4-1.

Passo 4

(c) Para a>2 e n>1, a fatoração geral é
a^n-1 = (a-1)l(a^n-1 + a^n-2 + cdots + 1r)
Como a-1>=2 e a soma dentro do parêntese tem pelo menos n>=2 termos todos positivos, ambos os fatores são >1. Logo, a^n-1 é composto.

Passo 5

(d) Se n é composto, escreva n=uv com u,v>1. Então
2^n - 1 = 2^uv-1 = l(2^ur)^v - 1 = (2^u - 1)l(2^u(v-1) + 2^u(v-2) + cdots + 1r)
Como 2^u-1>=3 e o outro fator é >= v>=2, ambos são >1. Logo, 2^n-1 é composto.

Resposta

(a) O único primo é 2^2-1=3.
(b) Para a^3-1 o único primo é 2^3-1=7; para a^4-1 não há primo.
(c) Se a>2 e n>1, então a^n-1 é sempre composto.
(d) Se n é composto, então 2^n-1 é sempre composto.

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