Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais
\oint_{\gamma}(y-\cos (x)) d x+x \operatorname{sen}(y) d y, \gamma é o círculo (x-3){2}+(y+4){2}=4, orientado no sentido horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha ointgamma(y-cos x),dx + xsin(y),dy usando o Teorema de Green, sabendo que gamma é o círculo (x-3)^2+(y+4)^2=4 orientado no sentido horário. O conteúdo é aplicação do Teorema de Green, e vamos precisar usar a fórmula que relaciona a integral de linha com a integral dupla de partial Q/partial x - partial P/partial y sobre a região interna.

Passo 2

Como a curva gamma está orientada no sentido horário, que é a orientação negativa, usamos a forma reversa do Teorema de Green. Se P=y-cos x e Q=xsin y, então em orientação positiva teríamos
ointgammaP,dx + Q,dy = integral duplaDl(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA
Para orientação horária basta trocar o sinal.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial (xsin y)partial x = sin y,
partial Ppartial y = partial (y-cos x)partial y = 1
Logo, a integranda é sin y - 1.

Passo 4

Aplicando o sinal de orientação horária, a integral de linha vale
ointgamma(y-cos x),dx + xsin(y),dy = -integral duplaD(sin y - 1),dA = integral duplaD(1-sin y),dA,
onde D é o disco de raio 2 centrado em (3,-4).

Passo 5

Para avaliar integral duplaD(1-sin y),dA, separamos em
integral duplaD1,dA - integral duplaDsin y,dA
A primeira parcela é a área do disco:
integral duplaD1,dA = picdot 2^2 = 4pi

Passo 6

Para integral duplaDsin y,dA fazemos a mudança de variáveis
u = x-3, v = y+4,
de modo que D vira u^2+v^2<= 4 e y = v-4. Então
integral duplaDsin y,dA = integral duplau^2+v^2<=4sin(v-4),du,dv
Usamos a expansão sin(v-4)=sin vcos4 - cos vsin4. Pelo simetria do disco aparece
integral duplau^2+v^2<=4sin v,du,dv = 0,
e
integral duplau^2+v^2<=4cos v,du,dv = 2piintegral0^2r J0(r),dr = 2picdot 2J1(2) = 4pi J1(2)
integral duplaDsin y,dA = -sin4 ;4pi J1(2) = -4pisin4,J1(2)

Passo 7

Substituindo de volta,
integral duplaD(1-sin y),dA = 4pi - ( -4pisin4,J1(2) ) = 4pi + 4pisin4,J1(2)
Portanto a integral de linha pedida é
4pi + 4pisin4,J1(2)

Resposta

4pi + 4pisin4,J1(2)

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