Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais
\oint_{\gamma}(y-\cos (x)) d x+x \operatorname{sen}(y) d y, \gamma é o círculo (x-3){2}+(y+4){2}=4, orientado no sentido horário.
\oint_{\gamma}(y-\cos (x)) d x+x \operatorname{sen}(y) d y, \gamma é o círculo (x-3){2}+(y+4){2}=4, orientado no sentido horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
usando o Teorema de Green, sabendo que
é o círculo
orientado no sentido horário. O conteúdo é aplicação do Teorema de Green, e vamos precisar usar a fórmula que relaciona a integral de linha com a integral dupla de
sobre a região interna.
Passo 2
Como a curva
está orientada no sentido horário, que é a orientação negativa, usamos a forma reversa do Teorema de Green. Se
e
, então em orientação positiva teríamos
Para orientação horária basta trocar o sinal.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo, a integranda é
.
Passo 4
Aplicando o sinal de orientação horária, a integral de linha vale
onde
é o disco de raio 2 centrado em
.
Passo 5
Para avaliar
, separamos em
A primeira parcela é a área do disco:
Passo 6
Para
fazemos a mudança de variáveis
de modo que
vira
e
. Então
Usamos a expansão
. Pelo simetria do disco aparece
e
Aí
Passo 7
Substituindo de volta,
Portanto a integral de linha pedida é