Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais
\oint_{\gamma}(y \cos (x)-x y \operatorname{sen}(x)) d x+(x y+x \cos (x)) d y, \gamma é o triângulo ligando (0,0),(0,4),(2,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha ointgamma(ycos x - x ysin x),dx + (x y + xcos x),dy em torno do triângulo com vértices (0,0),(0,4),(2,0). Vamos usar o Teorema de Green, que transforma a integral de linha numa integral dupla sobre a região D limitada por gamma:
ointgammaP,dx + Q,dy = integral duplaDl(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=ycos x - x ysin x e Q(x,y)=x y + xcos x.
Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x=y + cos x - xsin x, partial Ppartial y=cos x - xsin x
Logo
partial Qpartial x-partial Ppartial y=y

Passo 3

A região D é o triângulo com vértices (0,0),(0,4),(2,0). A hipotenusa é dada por y=4-2x. Montamos a integral dupla:
integral duplaDy,dA = integralx=0^2integraly=0^4-2xy,dy,dx
Calculando:
integraly=0^4-2xy,dy = tfrac12(4-2x)^2 = 8-8x+2x^2,
integral0^2(8-8x+2x^2),dx = l[8x-4x^2+tfrac23x^3r]0^2 = 16/3

Resposta

163

Exercícios relacionados