Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais
\oint_{\gamma}(y \cos (x)-x y \operatorname{sen}(x)) d x+(x y+x \cos (x)) d y, \gamma é o triângulo ligando (0,0),(0,4),(2,0).
\oint_{\gamma}(y \cos (x)-x y \operatorname{sen}(x)) d x+(x y+x \cos (x)) d y, \gamma é o triângulo ligando (0,0),(0,4),(2,0).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
em torno do triângulo com vértices
. Vamos usar o Teorema de Green, que transforma a integral de linha numa integral dupla sobre a região
limitada por
:
Passo 2
Identificamos
e
.
Calculamos as derivadas parciais:
Calculamos as derivadas parciais:
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Passo 3
A região
é o triângulo com vértices
. A hipotenusa é dada por
. Montamos a integral dupla:
Calculando: