Se S é uma reta que passa pelo ponto (4,4) e é perpendicular a reta
x+2 y=6,
encontre a equação da reta S. Em que ponto S intersecta a reta acima? Desenhe as duas retas em um mesmo plano cartesiano. (Use a mesma escala nos eixos).

Passo 1

Vamos recapitular o que pede o enunciado: precisamos encontrar a equação da reta S que passa por (4,4) e é perpendicular à reta dada por x + 2y = 6, depois achar o ponto de interseção entre elas e, por fim, esboçar as duas retas no mesmo plano.

Passo 2

Primeiro, identificamos o coeficiente angular (declive) da reta x + 2y = 6. Colocando em forma y = mx + b, temos:
x + 2y = 6 implies 2y = -x + 6 implies y = -tfrac12 x + 3
Logo, o coeficiente angular é m = -\tfrac12. Para uma reta ser perpendicular, seu declive m’ satisfaz m · m’ = -1. Assim:
(-tfrac12) cdot m' = -1 implies m' = 2

Passo 3

Agora montamos a equação de S, que tem declive m’ = 2 e passa por (4,4). Usamos a forma ponto-declive:
y - y0 = m'(x - x0) implies y - 4 = 2(x - 4)
Expandindo e isolando y:
y - 4 = 2x - 8 implies y = 2x - 4

Passo 4

Para achar o ponto de interseção, resolvemos o sistema:
y = 2x - 4, x + 2y = 6
Substituindo y na segunda equação:
x + 2(2x - 4) = 6 implies x + 4x - 8 = 6 implies 5x = 14 implies x = tfrac145
Então y = 2·(14/5) - 4 = 28/5 - 20/5 = 8/5. Logo o ponto de interseção é (tfrac145,,tfrac85).

Passo 5

Para desenhar as retas:
  • Na reta x + 2y = 6, podemos usar os interceptos: quando x=0, y=3; quando y=0, x=6.
  • Na reta S (y = 2x - 4), interceptos: x=0 → y=-4; y=0 → x=2.
    Marque esses pontos e trace as duas retas numa mesma escala.

Resposta

A equação da reta S é y = 2x - 4 e ela intersecta a reta x + 2y = 6 no ponto l(tfrac145,tfrac85r).

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