Use integração tripla para mostrar que o volume do sólido limitado pelo cilindro
, pelo plano
e pelo plano-
é
unidades cúbicas de volume.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cilindro
, pelo plano oblíquo
e pelo plano
, usando integração tripla em coordenadas cilíndricas. Vamos usar a transformação
,
,
e o jacobiano
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas o cilindro se torna
. O plano inferior é
e o plano superior é
. Como
, garantimos
para todo
. O ângulo varia de
a
.
Passo 3
Escrevemos então o volume como integral tripla do elemento
:
[ V=\int_{\theta=0}{2\pi}\int_{r=0}{5}\int_{z=0}^{8 - r(\cos\theta+\sin\theta)}r,dz,dr,d\theta ]
[ V=\int_{\theta=0}{2\pi}\int_{r=0}{5}\int_{z=0}^{8 - r(\cos\theta+\sin\theta)}r,dz,dr,d\theta ]
Passo 4
Integramos primeiro em
:
[ V=\int_{0}{2\pi}\int_{0}{5}r\bigl(8 - r(\cos\theta+\sin\theta)\bigr),dr,d\theta ]
[ V=\int_{0}{2\pi}\int_{0}{5}r\bigl(8 - r(\cos\theta+\sin\theta)\bigr),dr,d\theta ]
Passo 5
Separamos em duas integrais:
[ V=\int_{0}{2\pi}\int_{0}{5}8r,dr,d\theta ; - ; \int_{0}{2\pi}\int_{0}{5}r^2(\cos\theta+\sin\theta),dr,d\theta ]
[ V=\int_{0}{2\pi}\int_{0}{5}8r,dr,d\theta ; - ; \int_{0}{2\pi}\int_{0}{5}r^2(\cos\theta+\sin\theta),dr,d\theta ]
Passo 6
A primeira parte é
. A segunda parte é nula pois
[ \int_{0}{2\pi}(\cos\theta+\sin\theta),d\theta=0\quad\Longrightarrow\quad\int_{0}{2\pi}\int_{0}{5}r2(\cos\theta+\sin\theta),dr,d\theta=0 ].
[ \int_{0}{2\pi}(\cos\theta+\sin\theta),d\theta=0\quad\Longrightarrow\quad\int_{0}{2\pi}\int_{0}{5}r2(\cos\theta+\sin\theta),dr,d\theta=0 ].
Passo 7
Logo o volume do sólido é
.