Use integração tripla para mostrar que o volume do sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=25, pelo plano x+y+z=8 e pelo plano- x y é 200 pi unidades cúbicas de volume.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=25, pelo plano oblíquo x+y+z=8 e pelo plano z=0, usando integração tripla em coordenadas cilíndricas. Vamos usar a transformação x=rcostheta, y=rsintheta, z=z e o jacobiano r.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas o cilindro se torna 0<= r<=5. O plano inferior é z=0 e o plano superior é z=8 - x - y = 8 - r(costheta + sintheta). Como r(costheta + sintheta)<= rraiz2<=5raiz2<8, garantimos z>=0 para todo r<=5. O ângulo varia de 0 a 2pi.

Passo 3

Escrevemos então o volume como integral tripla do elemento dV=r,dz,dr,dtheta:
[ V=\int_{\theta=0}{2\pi}\int_{r=0}{5}\int_{z=0}^{8 - r(\cos\theta+\sin\theta)}r,dz,dr,d\theta ]

Passo 4

Integramos primeiro em z:
[ V=\int_{0}{2\pi}\int_{0}{5}r\bigl(8 - r(\cos\theta+\sin\theta)\bigr),dr,d\theta ]

Passo 5

Separamos em duas integrais:
[ V=\int_{0}{2\pi}\int_{0}{5}8r,dr,d\theta ; - ; \int_{0}{2\pi}\int_{0}{5}r^2(\cos\theta+\sin\theta),dr,d\theta ]

Passo 6

A primeira parte é 8integral0^2pidthetaintegral0^5r,dr=8cdot2picdot5^22=200pi. A segunda parte é nula pois
[ \int_{0}{2\pi}(\cos\theta+\sin\theta),d\theta=0\quad\Longrightarrow\quad\int_{0}{2\pi}\int_{0}{5}r2(\cos\theta+\sin\theta),dr,d\theta=0 ].

Passo 7

Logo o volume do sólido é 200pi.

Resposta

200pi

Exercícios relacionados