Utilize as identidades trigonométricas já estabelecidas para provar as seguintes:
cossec^6 theta=cotg^4 theta cossec^2 theta+2 cotg^2 theta cossec^2 theta+cossec^2 theta

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica csc^6theta = cot^4theta,csc^2theta + 2,cot^2theta,csc^2theta + csc^2theta. O conteúdo principal é a relação pitagórica 1 + cot^2theta = csc^2theta, que vamos usar para reescrever e simplificar a expressão.

Passo 2

Começamos pelo segundo membro da igualdade e fatoramos csc^2theta em cada termo:
cot^4theta,csc^2theta + 2,cot^2theta,csc^2theta + csc^2theta = csc^2thetal(cot^4theta + 2cot^2theta + 1r)

Passo 3

Dentro dos parênteses reconhecemos um quadrado perfeito:
cot^4theta + 2cot^2theta + 1 = (cot^2theta + 1)^2

Passo 4

Aplicamos a identidade pitagórica 1 + cot^2theta = csc^2theta, logo
(cot^2theta + 1)^2 = (csc^2theta)^2 = csc^4theta

Passo 5

Substituindo de volta no fator, obtemos
csc^2theta cdot csc^4theta = csc^6theta,
que coincide com o primeiro membro da igualdade, concluindo a prova.

Resposta

csc^6theta = cot^4theta,csc^2theta + 2,cot^2theta,csc^2theta + csc^2theta

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